Calcule o valor da soma
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)(n+3) cdots(n+p),(p in N)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a soma infinita sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)cdots(n+p), onde p é um número natural. Isso envolve conceitos de séries infinitas e decomposição em frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como quebrar essa fração complicada em partes mais simples que cancelam umas às outras quando somadas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a expressão 1n(n+1)(n+2)cdots(n+p) é um produto de p+1 termos consecutivos no denominador. Para simplificar, podemos usar frações parciais, que basicamente nos permite escrever essa fração complicada como uma soma de frações mais simples.

Passo 3

Aplicando a técnica de frações parciais, descobrimos que:
1n(n+1)(n+2)cdots(n+p) = 1p ( 1n(n+1)(n+2)cdots(n+p-1) - 1(n+1)(n+2)cdots(n+p) )
Isso significa que cada termo da soma original pode ser escrito como a diferença de duas frações mais simples.

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na soma infinita:
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)cdots(n+p) = 1p sumn=1^infty ( 1n(n+1)cdots(n+p-1) - 1(n+1)(n+2)cdots(n+p) )
Perceba que essa soma se torna telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somarmos de n=1 ao infinito.

Passo 5

Ao somar os termos telescópicos, quase tudo cancela, sobrando apenas o primeiro termo da série. Assim, a soma infinita simplifica para:
1p cdot 11 cdot 2 cdots p = 1p cdot p!
Aqui, p! (fatorial de p) é o produto de todos os números de 1 até p.

Resposta

O valor da soma é 1p cdot p!.

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