Calcule o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a soma infinita
, onde
é um número natural. Isso envolve conceitos de séries infinitas e decomposição em frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como quebrar essa fração complicada em partes mais simples que cancelam umas às outras quando somadas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a expressão
é um produto de
termos consecutivos no denominador. Para simplificar, podemos usar frações parciais, que basicamente nos permite escrever essa fração complicada como uma soma de frações mais simples.
Passo 3
Aplicando a técnica de frações parciais, descobrimos que:
Isso significa que cada termo da soma original pode ser escrito como a diferença de duas frações mais simples.
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na soma infinita:
Perceba que essa soma se torna telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somarmos de
ao infinito.
Passo 5
Ao somar os termos telescópicos, quase tudo cancela, sobrando apenas o primeiro termo da série. Assim, a soma infinita simplifica para:
Aqui,
(fatorial de
) é o produto de todos os números de 1 até
.
Resposta
O valor da soma é
.