Cada limite representa a derivada de alguma função f em algum número a. Estabeleça f^prime(a) em cada caso.
lim x 1 x^9-1x-1

Passo 1

O enunciado dá o limite
limxto1x^9-1x-1
e observa que esse tipo de limite é justamente a definição de derivada de uma função f em um ponto a:
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
Vamos usar esse fato para identificar f e a e depois calcular f'(a).

Passo 2

Comparando
x^9-1x-1
com
f(x)-f(a)x-a,
vemos que f(x)=x^9 e que f(a)=1 quando a=1, pois f(1)=1^9=1. Logo, este limite é exatamente
f'(1)=limxto1f(x)-f(1)x-1

Passo 3

Para calcular f'(x) usamos a regra do poder:
f'(x)=ddx(x^9)=9x^8
Portanto,
f'(1)=9cdot1^8=9

Resposta

f'(1)=9

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