Calcule as integrais abaixo.
integral-pi / 4^0 cos ^3(2 x) sen(2 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = integral-pi/4^0 cos^3(2x),sen(2x),dx
O conteúdo principal aqui é usar integração por substituição (u-substituição) em funções trigonométricas.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = cos(2x), du = -2,sen(2x),dx ;Longrightarrow; sen(2x),dx = -tfrac12,du
Quando x=-pi/4, u=cos(-pi/2)=0.
Quando x=0, u=cos(0)=1.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
I = integralu=0^1 u^3,l(-tfrac12,dur) = -tfrac12 integral0^1 u^3,du = -tfrac12 l[tfracu^44r]0^1 = -tfrac12cdottfrac14 = -tfrac18

Resposta

-tfrac18

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