- (10 pontos) Determine a soluçāo geral da EDO:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, estamos trabalhando com uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método das equações características.
Passo 2
O primeiro passo para resolver a EDO é formar a equação característica associada. Para uma equação da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, a equação dada é:
Então, os coeficientes são
e
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver uma equação quadrática do tipo
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:
Então:
Como a raiz é negativa (
), temos raízes complexas.
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO é:
No nosso caso,
e
(pois
e dividindo por 2 temos 3). Portanto, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da EDO
é: