Encontre a solução geral de cada equação: x^3 y' + 3 x^2 y = 5 senh(10 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar os termos da equação e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Dividindo toda a equação por para isolarmos :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução, pois podemos integrar ambos os lados.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral da derivada do lado esquerdo simplifica para . Já a integral do lado direito:
Então, temos:

Resposta

Finalmente, isolando , a solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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