Encontre a solução geral de cada equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar os termos da equação e aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Dividindo toda a equação por
para isolarmos
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então,
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução, pois podemos integrar ambos os lados.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada do lado esquerdo simplifica para
. Já a integral do lado direito:
Então, temos:
Resposta
Finalmente, isolando
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.