1. (10 pontos) Determine a solução geral da EDO:
y'' - 2y' + y = 2e^x
BOA PROVA!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Para isso, vamos usar conhecimentos de EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar tanto a solução da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, tirando o lado direito da equação original:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é e já está na solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para tentar uma forma diferente. Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:
Isso implica que .

Passo 8

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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