- (10 pontos) Determine a solução geral da EDO:
BOA PROVA!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Para isso, vamos usar conhecimentos de EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar tanto a solução da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, tirando o lado direito da equação original:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como a raiz
é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
e
já está na solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por
para tentar uma forma diferente. Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Isso implica que
.
Passo 8
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.