Resolva as equações separáveis:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial separável
. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de equações diferenciais separáveis, que nos permite separar as variáveis
e
e integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a derivada
. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos a integral de
, que é equivalente a
. Do lado direito, precisamos integrar
.
Passo 5
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a fórmula de integração para
, que resulta em uma combinação de
e
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observando o denominador
, completamos o quadrado:
O numerador
pode ser reescrito como:
Então, podemos reescrever a fração:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a integral completa do lado direito fica:
Passo 8
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.