Resolva as equações separáveis: (2 x - 1) cos^4(y) + (x^2 - 2 x + 2) dy/dx = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial separável . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de equações diferenciais separáveis, que nos permite separar as variáveis e e integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada . Subtraindo de ambos os lados, temos:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos a integral de , que é equivalente a . Do lado direito, precisamos integrar .

Passo 5

Resolvendo a integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a fórmula de integração para , que resulta em uma combinação de e .

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Observando o denominador , completamos o quadrado:
O numerador pode ser reescrito como:
Então, podemos reescrever a fração:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a integral completa do lado direito fica:

Passo 8

Igualando as integrais dos dois lados, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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