Determine as soluções das equações redutíveis à forma separável: y' = (2y - x) / (2x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai trabalhar com equações separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e de lados diferentes da equação. Para isso, precisamos identificar uma substituição que facilite essa separação. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição esperta para simplificar a equação. Vamos definir . Assim, temos:
Agora, precisamos encontrar . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Substituímos e na equação original:

Passo 3

Vamos simplificar o lado direito:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Vamos simplificar o lado direito:
Então:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e :
Isso coloca tudo em termos de de um lado e do outro, facilitando a integração.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Podemos fazer uma fração parcial. Observando que , tentamos escrever:
Resolvendo para e :
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores para :
  • Para :
  • Para :
Então:
Agora, a integral fica:
Do lado direito:

Passo 7

Igualando as integrais:
Podemos chamar de constante geral. Agora, vamos substituir :

Passo 8

Vamos simplificar essa expressão para encontrar em função de . Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar os coeficientes fracionários:
Onde é uma nova constante.
Podemos reescrever usando propriedades dos logaritmos:
Isso resulta em:
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante positiva.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante arbitrária.

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