Determine as soluções das equações redutíveis à forma separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai trabalhar com equações separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e de lados diferentes da equação. Para isso, precisamos identificar uma substituição que facilite essa separação. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição esperta para simplificar a equação. Vamos definir . Assim, temos:
Agora, precisamos encontrar . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Substituímos e na equação original:
Passo 3
Vamos simplificar o lado direito:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar :
Vamos simplificar o lado direito:
Então:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis e :
Isso coloca tudo em termos de de um lado e do outro, facilitando a integração.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Podemos fazer uma fração parcial. Observando que , tentamos escrever:
Resolvendo para e :
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores para :
Para :
Para :
Então:
Agora, a integral fica:
Do lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais:
Podemos chamar de constante geral. Agora, vamos substituir :
Passo 8
Vamos simplificar essa expressão para encontrar em função de . Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar os coeficientes fracionários:
Onde é uma nova constante.
Podemos reescrever usando propriedades dos logaritmos:
Isso resulta em:
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante positiva.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por: