Encontre um fator integrante e resolva a equação dada: cos(2 x) + 2 sen(2 x) dx + e^x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como usá-lo para tornar a equação exata, ou seja, facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Um fator integrante comum para equações diferenciais lineares de primeira ordem é uma função que depende apenas de x ou de y. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de x, ou seja, mu(x).
Multiplicamos toda a equação por mu(x):
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Simplificando:

Passo 4

Temos a equação:
Podemos dividir ambos os lados por e^x (já que ):
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para mu(x). A solução geral é:
Podemos escolher sem perda de generalidade, então:

Passo 5

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata, então existe uma função potencial tal que:

Passo 6

Vamos encontrar integrando em relação a x:
Para integrar e , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral de é:
Aplicando isso:
E para :
Somando as integrais:
Agora, usamos :
Integrando:
Então, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante.

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