Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como usá-lo para tornar a equação exata, ou seja, facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Um fator integrante comum para equações diferenciais lineares de primeira ordem é uma função que depende apenas de
ou de
. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
.
Multiplicamos toda a equação por
:
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Simplificando:
Passo 4
Temos a equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
):
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. A solução geral é:
Podemos escolher
sem perda de generalidade, então:
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata, então existe uma função potencial
tal que:
Passo 6
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Para integrar
e , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral de
é:
Aplicando isso:
E para :
Somando as integrais:
Agora, usamos
:
Integrando:
Então, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.