A tabela a seguir fornece os valores de uma função obtidos experimentalmente. Use-os para estimar \int_{-1}^{5} f(x) d x utilizando subintervalos iguais com os pontos médios como os pontos amostrais.
x -1 0 1 2 3 4 5
f(x) 2,7 3,5 -0,2 -1,5 0,6 4,4 2,5

Passo 1

O enunciado nos dá valores de f em x=-1,0,1,2,3,4,5 e pede para estimar
\int_{-1}^{5}f(x)\,dx
usando subintervalos iguais e o ponto médio como amostra. Para isso vamos aplicar a regra do ponto médio, que diz
\int_{a}^{b}f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}f\bigl(x_i^*\bigr)\,\Delta x
onde \Delta x=(b-a)/n e x_i^* é o ponto médio de cada subintervalo.

Passo 2

Escolhemos n=3 subintervalos de modo que os pontos médios coincidam com valores da tabela. Como
\Delta x = \frac{5-(-1)}{3} = \frac{6}{3} = 2,
os subintervalos são [-1,1], [1,3] e [3,5], cujos pontos médios são 0,2,4.

Passo 3

Pela regra do ponto médio:
\int_{-1}^{5}f(x)\,dx \approx \Delta x\bigl[f(0)+f(2)+f(4)\bigr].

Passo 4

Da tabela: f(0)=3,5, f(2)=-1,5 e f(4)=4,4. Logo,
f(0)+f(2)+f(4)=3,5 + (-1,5) +4,4 =6,4
e
\int_{-1}^{5}f(x)\,dx \approx 2 \times 6,4 =12,8.

Resposta

12,8

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