(a) ( 10 pontos) Encontre a série de Taylor da função dada ao redor do ponto a=-3 :
f(x)=\frac{2}{x^{2}+3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f ao redor do ponto a=-3. Dados do enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{2}{x^{2}+3x+2}.
  • O ponto de expansão (centro) é a=-3.
O objetivo concreto: escrever f(x) como uma série em potências de (x+3), ou seja em termos de t:=x+3, e indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.

Passo 2

Mudança de variável para centralizar em a=-3. Defina
t:=x+3,
logo x=t-3. Vou reescrever f em função de t.
Calcule os fatores do denominador:
x+1=(t-3)+1=t-2, \qquad x+2=(t-3)+2=t-1.
Como x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2), obtemos
f(x)=\frac{2}{(x+1)(x+2)}=\frac{2}{(t-2)(t-1)}.
A expansão em série de Taylor em a=-3 é a expansão em potências de t em torno de t=0.

Passo 3

Fazer frações parciais para tornar a expressão somas de termos simples (cada um passível de expandir em série geométrica). Procuro constantes A e B tais que
\frac{2}{(t-2)(t-1)}=\frac{A}{t-2}+\frac{B}{t-1}.
Multiplicando ambos os lados por (t-2)(t-1) obtenho
2 = A(t-1)+B(t-2).
Para resolver rapidamente, avalio em t=1 e t=2:
  • Em t=1: 2 = A(0)+B(-1)\Rightarrow B=-2.
  • Em t=2: 2 = A(1)+B(0)\Rightarrow A=2.
Portanto
\frac{2}{(t-2)(t-1)}=\frac{2}{t-2}-\frac{2}{t-1}.

Passo 4

Transformar cada fração em uma forma C/(1-u) para usar a série geométrica. Trato cada termo:
Para o primeiro termo:
\frac{2}{t-2}=\frac{2}{-2(1-\tfrac{t}{2})}=-\frac{1}{1-\tfrac{t}{2}}.
Para o segundo termo:
-\frac{2}{t-1}=-\frac{2}{-(1-t)}=\frac{2}{1-t}.
Então, escrevendo juntos:
f(x)= -\frac{1}{1-\tfrac{t}{2}}+\frac{2}{1-t}, \qquad\text{onde }t=x+3.

Passo 5

Recordando a série geométrica básica: para |u|<1 vale
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.
Aplicando com u=\tfrac{t}{2} e u=t:
  • Para -\dfrac{1}{1-\tfrac{t}{2}}:
-\frac{1}{1-\tfrac{t}{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{t}{2}\right)^{n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{2^{n}},
válido quando \left|\dfrac{t}{2}\right|<1, isto é quando |t|<2.
  • Para \dfrac{2}{1-t}:
\frac{2}{1-t}=2\sum_{n=0}^{\infty}t^{n},
válido quando |t|<1.

Passo 6

Somando termo a termo (a interseção das condições de convergência será usada depois), obtemos a série de f em potências de t:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n}}\right)t^{n}.
Voltando a x com t=x+3, a série de Taylor centrada em a=-3 é
\boxed{\,f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n}}\right)(x+3)^{n}\, }.
Como verificação rápida, o termo constante ( n=0) é 2-1=1, e f(-3)=\dfrac{2}{9-9+2}=1, bate certinho.

Passo 7

Determinar o raio de convergência. As singularidades de f (pólos) estão em x=-1 e x=-2. A distância do centro a=-3 até esses pontos é:
|(-1)-(-3)|=2,\qquad |(-2)-(-3)|=1.
O raio de convergência da série de Taylor é a menor dessas distâncias, ou seja R=1. Isso coincide com a interseção das condições |t|<2 e |t|<1 que obtivemos ao expandir: a interseção é |t|<1.
Conclusão: a série vale para |x+3|<1.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n}}\right)(x+3)^{n},\qquad\text{válida para }|x+3|<1.á

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