[2.5 pontos] Considere a função:
a) Mostre que existe uma raiz de
no intervalo
.
b) Aplique o método de Newton com aproximação inicial:
e realize 2 iterações, mantendo 4 casas decimais em cada passo.
c) Explique o que pode acontecer se o método for iniciado próximo de um ponto
onde
.
a) Mostre que existe uma raiz de
b) Aplique o método de Newton com aproximação inicial:
c) Explique o que pode acontecer se o método for iniciado próximo de um ponto
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
- Função dada:
. - Perguntas:
a) Mostrar que existe uma raiz deno intervalo .
b) Aplicar o método de Newton come realizar 2 iterações, mantendo 4 casas decimais em cada passo.
c) Explicar o que pode acontecer se o método for iniciado próximo a um pontoonde .
Dados explícitos que vamos usar:
-
valor em . -
valor em . - Derivada:
expressão que será necessária para o método de Newton.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(a) Analisar existência de raiz em
usando propriedades básicas (continuidade, teorema do valor intermédio) e comportamento monotônico.
-
Primeiro, lembrar uma coisa importante (explicando devagar): o Teorema do Valor Intermediário (também chamado de Teorema de Bolzano) diz que, se uma função
é contínua em e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um tal que . Ou seja: para garantir uma raiz pelo Teorema do Valor Intermediário precisamos de uma mudança de sinal entre os extremos do intervalo. -
Vamos calcular
nas extremidades do intervalo pedido:
Observação: ambos os valores são negativos:
e
.
- Conclusão imediata pela observação acima: não há mudança de sinal entre
e , logo o Teorema do Valor Intermediário NÃO garante a existência de raiz em . Pelo contrário, isso já indica que provavelmente não há raiz nesse intervalo — mas vamos confirmar vetando a possibilidade de cruzamento.
Passo 3
(a) Mostrar de forma mais forte que realmente NÃO existe raiz em
(explicação clara e didática).
- Vamos estudar o sinal da derivada em
. Calcular a derivada: - Para
em temos , então e portanto . Ou seja, em todo o intervalo aberto a derivada é negativa, o que significa que é estritamente decrescente em . - Se uma função é estritamente decrescente e
e , então ela não pode atingir o valor zero nesse intervalo, porque já começa em (negativo) e só diminui até (mais negativo). - Portanto não existe
tal que .
Comentário amigo: o enunciado pediu para mostrar que existe uma raiz em
, mas os cálculos mostram o oposto — matematicamente correto é afirmar que NÃO existe raiz em
. Isso acontece às vezes: um enunciado pode ter um lapso. O raciocínio acima é a forma rigorosa e simples de ver isso.
Passo 4
(b) Preparação: definir o método de Newton e a fórmula que vamos usar, com explicação didática.
- Ideia do método (num papo rápido): o método de Newton aproxima a função por sua reta tangente em
e intersecta essa reta com o eixo ; a abscissa dessa interseção é a próxima aproximação . Repetindo, espera-se convergir para uma raiz. - Fórmula iterativa do método de Newton (derivada necessária):
Aqui: -
é a aproximação atual; -
é o valor da função nesse ponto; -
é a derivada nesse ponto; - o quociente
é a correção que subtraios de .
-
- Observação prática: quando pedir “manter 4 casas decimais em cada passo” significa que, após calcular
, arredondamos esse valor para 4 casas decimais e usamos esse valor arredondado na iteração seguinte (isto é o procedimento típico em exercícios de método iterativo em provas).
Agora vamos aplicar com
.
Passo 5
(b) Primeira iteração (cálculos passo a passo, arredondando quando indicado).
- Primeiro calcule
e .
- Aplicando a fórmula de Newton:
- Arredondando
para 4 casas decimais (conforme pedido): - Observação de procedimento: a partir daqui, usamos
(arredondado) para calcular a próxima iteração.
Passo 6
(b) Segunda iteração (usar
arredondado e manter 4 casas decimais no resultado).
- Calcular
e usando . - Primeiro
(mostrando o produto intermediário para ficar transparente). - Então
- Calcular
: Já que (produto mostrado nos cálculos), segue
- Primeiro
- Aplicar a fórmula de Newton (usando estes valores calculados a partir de
arredondado): Calcule o quociente (mostrando a ideia): Logo - Arredondando
para 4 casas decimais:
Observação amiga: nas provas é normal arredondar cada
para a quantidade de casas pedida antes de usar na próxima iteração, e é isso que foi feito aqui.
Passo 7
(c) O que pode acontecer se o método for iniciado perto de um ponto onde
— explicação didática e exemplo com a função dada.
- Primeiro, intuição simples: a fórmula de Newton usa
. Se for zero exactamente, a fórmula é indefinida (divisão por zero). Se for muito pequena (próxima de zero), a correção pode ser muito grande, fazendo saltar para longe — isso pode causar divergência, oscilações, ou convergência para uma raiz diferente. - Consequências práticas:
- Se
exatamente, o método de Newton não pode ser aplicado nesse ponto. - Se
é muito pequeno, o método pode dar um passo muito grande, perder a região de convergência e falhar em convergir. - Mesmo se não houvesse divisão por zero, a taxa de convergência pode cair: a convergência quadrática típica do método de Newton pode ser perdida perto de raízes múltiplas ou pontos estacionários.
- Se
- Exemplo com a função
: - A derivada é
, então quando . - Se alguém tentar usar Newton com
exactamente, a fórmula requereria divisão por zero — impossível. - Se começar com
muito próximo de (por exemplo ou ), o denominador será muito pequeno em módulo e a correção pode ser enorme, levando a um muito distante (talvez em região onde o método não converge).
- A derivada é
- Em resumo amigável: evite começar Newton exatamente em pontos críticos da função (onde a derivada é zero) e, se o método produz passos muito grandes, é sinal de que a inicialização está numa região perigosa — aí é melhor escolher outro
ou usar um método mais robusto (por exemplo, método da bisseção para garantir existência de raiz numa fase inicial).
Resposta
a) Não existe raiz de
em
.
b)
b)
c) Se
a iteração de Newton é indefinida (divisão por zero); se
for muito pequeno a correção pode ser enorme e o método pode divergir, oscilar ou convergir para outra raiz.