[2.5 pontos] Considere a função: f(x)=x^{3}-3 x-1
a) Mostre que existe uma raiz de f(x)=0 no intervalo [0,1].
b) Aplique o método de Newton com aproximação inicial: x_{0}=0.5 e realize 2 iterações, mantendo 4 casas decimais em cada passo.
c) Explique o que pode acontecer se o método for iniciado próximo de um ponto x_{0} onde f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Função dada: f(x)=x^{3}-3x-1.
  • Perguntas:
    a) Mostrar que existe uma raiz de f(x)=0 no intervalo [0,1].
    b) Aplicar o método de Newton com x_{0}=0,5 e realizar 2 iterações, mantendo 4 casas decimais em cada passo.
    c) Explicar o que pode acontecer se o método for iniciado próximo a um ponto x_{0} onde f^{\prime}(x_{0})=0.
Dados explícitos que vamos usar:
  • f(0)= valor em x=0.
  • f(1)= valor em x=1.
  • Derivada: f^{\prime}(x)= expressão que será necessária para o método de Newton.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

(a) Analisar existência de raiz em [0,1] usando propriedades básicas (continuidade, teorema do valor intermédio) e comportamento monotônico.
  • Primeiro, lembrar uma coisa importante (explicando devagar): o Teorema do Valor Intermediário (também chamado de Teorema de Bolzano) diz que, se uma função g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. Ou seja: para garantir uma raiz pelo Teorema do Valor Intermediário precisamos de uma mudança de sinal entre os extremos do intervalo.
  • Vamos calcular f nas extremidades do intervalo pedido:
    f(0)=0^{3}-3\cdot0-1=-1,
f(1)=1^{3}-3\cdot1-1=1-3-1=-3.
Observação: ambos os valores são negativos: f(0)=-1 e f(1)=-3.
  • Conclusão imediata pela observação acima: não há mudança de sinal entre f(0) e f(1), logo o Teorema do Valor Intermediário NÃO garante a existência de raiz em [0,1]. Pelo contrário, isso já indica que provavelmente não há raiz nesse intervalo — mas vamos confirmar vetando a possibilidade de cruzamento.

Passo 3

(a) Mostrar de forma mais forte que realmente NÃO existe raiz em [0,1] (explicação clara e didática).
  • Vamos estudar o sinal da derivada em [0,1]. Calcular a derivada: f^{\prime}(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
  • Para x em (0,1) temos x^{2}<1, então x^{2}-1<0 e portanto f^{\prime}(x)=3(x^{2}-1)<0. Ou seja, em todo o intervalo aberto (0,1) a derivada é negativa, o que significa que f é estritamente decrescente em [0,1].
  • Se uma função é estritamente decrescente e f(0)=-1 e f(1)=-3, então ela não pode atingir o valor zero nesse intervalo, porque f já começa em -1 (negativo) e só diminui até -3 (mais negativo).
  • Portanto não existe x\in[0,1] tal que f(x)=0.
Comentário amigo: o enunciado pediu para mostrar que existe uma raiz em [0,1], mas os cálculos mostram o oposto — matematicamente correto é afirmar que NÃO existe raiz em [0,1]. Isso acontece às vezes: um enunciado pode ter um lapso. O raciocínio acima é a forma rigorosa e simples de ver isso.

Passo 4

(b) Preparação: definir o método de Newton e a fórmula que vamos usar, com explicação didática.
  • Ideia do método (num papo rápido): o método de Newton aproxima a função por sua reta tangente em x_{n} e intersecta essa reta com o eixo x; a abscissa dessa interseção é a próxima aproximação x_{n+1}. Repetindo, espera-se convergir para uma raiz.
  • Fórmula iterativa do método de Newton (derivada necessária): x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}.Aqui:
    • x_{n} é a aproximação atual;
    • f(x_{n}) é o valor da função nesse ponto;
    • f^{\prime}(x_{n}) é a derivada nesse ponto;
    • o quociente \dfrac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})} é a correção que subtraios de x_{n}.
  • Observação prática: quando pedir “manter 4 casas decimais em cada passo” significa que, após calcular x_{n+1}, arredondamos esse valor para 4 casas decimais e usamos esse valor arredondado na iteração seguinte (isto é o procedimento típico em exercícios de método iterativo em provas).
Agora vamos aplicar com x_{0}=0,5.

Passo 5

(b) Primeira iteração (cálculos passo a passo, arredondando quando indicado).
  • Primeiro calcule f(0,5) e f^{\prime}(0,5). f(0,5)=(0,5)^{3}-3(0,5)-1=0,125-1,5-1=-2,375.
f^{\prime}(0,5)=3(0,5)^{2}-3=3\cdot0,25-3=0,75-3=-2,25.
  • Aplicando a fórmula de Newton: x_{1}=0,5-\dfrac{-2,375}{-2,25}=0,5-\;1,0555\ldots =-0,555555\ldots
  • Arredondando x_{1} para 4 casas decimais (conforme pedido): x_{1}=-0,5556.
  • Observação de procedimento: a partir daqui, usamos x_{1}=-0,5556 (arredondado) para calcular a próxima iteração.

Passo 6

(b) Segunda iteração (usar x_{1}=-0,5556 arredondado e manter 4 casas decimais no resultado).
  • Calcular f(x_{1}) e f^{\prime}(x_{1}) usando x_{1}=-0,5556.
    • Primeiro x_{1}^{2}=( -0,5556)^{2}=0,30869136 (mostrando o produto intermediário para ficar transparente).
    • Então f^{\prime}(-0,5556)=3(0,30869136)-3=0,92607408-3=-2,07392592.
    • Calcular f(-0,5556): f(-0,5556)=(-0,5556)^{3}-3(-0,5556)-1.Já que (-0,5556)^{3}=-0,171508919616 (produto mostrado nos cálculos), segue f(-0,5556)=-0,171508919616+1,6668-1=0,495291080384.
  • Aplicar a fórmula de Newton (usando estes valores calculados a partir de x_{1} arredondado): x_{2}=x_{1}-\dfrac{f(x_{1})}{f^{\prime}(x_{1})}=-0,5556-\dfrac{0,495291080384}{-2,07392592}.Calcule o quociente (mostrando a ideia): \dfrac{0,495291080384}{-2,07392592}\approx-0,238806\ldotsLogo x_{2}=-0,5556-(-0,238806\ldots)=-0,5556+0,238806\ldots=-0,316794\ldots
  • Arredondando x_{2} para 4 casas decimais: x_{2}=-0,3168.
Observação amiga: nas provas é normal arredondar cada x_{n} para a quantidade de casas pedida antes de usar na próxima iteração, e é isso que foi feito aqui.

Passo 7

(c) O que pode acontecer se o método for iniciado perto de um ponto onde f^{\prime}(x_{0})=0 — explicação didática e exemplo com a função dada.
  • Primeiro, intuição simples: a fórmula de Newton usa \dfrac{1}{f^{\prime}(x_{n})}. Se f^{\prime}(x_{n}) for zero exactamente, a fórmula é indefinida (divisão por zero). Se f^{\prime}(x_{n}) for muito pequena (próxima de zero), a correção -f(x_{n})/f^{\prime}(x_{n}) pode ser muito grande, fazendo x_{n+1} saltar para longe — isso pode causar divergência, oscilações, ou convergência para uma raiz diferente.
  • Consequências práticas:
    • Se f^{\prime}(x_{0})=0 exatamente, o método de Newton não pode ser aplicado nesse ponto.
    • Se f^{\prime}(x_{0}) é muito pequeno, o método pode dar um passo muito grande, perder a região de convergência e falhar em convergir.
    • Mesmo se não houvesse divisão por zero, a taxa de convergência pode cair: a convergência quadrática típica do método de Newton pode ser perdida perto de raízes múltiplas ou pontos estacionários.
  • Exemplo com a função f(x)=x^{3}-3x-1:
    • A derivada é f^{\prime}(x)=3(x^{2}-1), então f^{\prime}(x)=0 quando x=\pm1.
    • Se alguém tentar usar Newton com x_{0}=1 exactamente, a fórmula requereria divisão por zero — impossível.
    • Se começar com x_{0} muito próximo de 1 (por exemplo x_{0}=1,001 ou x_{0}=0,999), o denominador f^{\prime}(x_{0}) será muito pequeno em módulo e a correção pode ser enorme, levando a um x_{1} muito distante (talvez em região onde o método não converge).
  • Em resumo amigável: evite começar Newton exatamente em pontos críticos da função (onde a derivada é zero) e, se o método produz passos muito grandes, é sinal de que a inicialização está numa região perigosa — aí é melhor escolher outro x_{0} ou usar um método mais robusto (por exemplo, método da bisseção para garantir existência de raiz numa fase inicial).

Resposta

a) Não existe raiz de f(x)=0 em [0,1].
b) x_{1}=-0,5556
x_{2}=-0,3168
c) Se f^{\prime}(x_{0})=0 a iteração de Newton é indefinida (divisão por zero); se f^{\prime}(x_{0}) for muito pequeno a correção pode ser enorme e o método pode divergir, oscilar ou convergir para outra raiz.

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