Resolva o sistema usando o método de fatoração L U com pivotamento parcial.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear formado por três equações (observe que a primeira equação não tem termo em x, ou seja o coeficiente de x é zero) e pede para resolver usando fatoração LU com pivotamento parcial. As equações são:
Pedido: encontrar o vetor solução \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} usando fatoração LU com pivotamento parcial (ou seja, permitir permutações de linhas quando necessário).]
Passo 2
Breve lembrança do que vamos fazer (sem resolver ainda): com pivotamento parcial procuramos, em cada coluna k, o maior pivô em módulo entre as linhas \{k,\dots,n\} e, se necessário, trocamos linhas. O objetivo é obter uma permutação P, uma matriz triangular inferior L com 1s na diagonal e uma matriz triangular superior U tais que
P A = L U.
Depois resolvemos L y = P b (substituição direta) e U x = y (substituição regressiva). Agora vamos aplicar isso passo a passo ao nosso A.
Passo 3
Primeiro passo do pivotamento (coluna 1): olhamos os elementos da coluna 1 nas linhas 1 a 3 e escolhemos o maior em valor absoluto:
O maior é 3 na linha 3, portanto fazemos a troca da linha 1 com a linha 3. Essa operação gera uma matriz de permutação parcial inicial. Aplicando a troca em A e b obtemos:
O maior é 2 na linha 3, então trocamos as linhas 2 e 3 de U. Quando trocamos linhas na fase k também devemos trocar, para consistência, os multiplicadores já computados nas colunas anteriores de L (ou seja, trocar as entradas correspondentes em L nas linhas 2 e 3 para as colunas 1 a k-1). Aplicando a troca nas matrizes e no vetor de termos independentes resultantes após a primeira permutação, obtemos a permutação final dos índices das linhas:
Permutação final aplicada a A e b (ordem das linhas agora): \text{linha original 3},\\ \text{linha original 1},\\ \text{linha original 2}.
Assim, U passa a ser
P b=\begin{pmatrix}17\\[4pt]5\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Também atualizamos os multiplicadores da coluna 1 em L: originalmente \ell_{21}=\tfrac{1}{3},\\ \ell_{31}=0; após trocar as linhas 2 e 3 essas entradas trocam de lugar, ficando agora
\ell_{21}=0,\qquad \ell_{31}=\tfrac{1}{3}.
(Mais adiante colocaremos L completa.)]
Passo 6
Agora eliminamos usando o pivô u_{22}=2 (agora na segunda linha). O multiplicador é
Agora escrevemos explicitamente a permutação P, a matriz L (com 1s na diagonal) e U. Lembre que a ordem final das linhas de PA foi original row 3, original row 1, original row 2.
A permutação P que faz isso é
Ótimo — por pouco trabalho, com pivotamento parcial evitamos dividir por pivôs pequenos e chegamos num resultado inteiro e limpo. Força aí na prova: você já domina a lógica do procedimento!]