[ 2.5 pontos] Considere o sistema linear: \quad 2 y+z=5
\begin{aligned} x+y+z & =6 \\\\ 3 x+2 y+4 z & =17 \end{aligned}
Resolva o sistema usando o método de fatoração L U com pivotamento parcial.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear formado por três equações (observe que a primeira equação não tem termo em x, ou seja o coeficiente de x é zero) e pede para resolver usando fatoração LU com pivotamento parcial. As equações são:
\begin{aligned} 0x + 2y + 1z &= 5,\\\\ 1x + 1y + 1z &= 6,\\\\ 3x + 2y + 4z &= 17.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Matriz dos coeficientes A e vetor dos termos independentes b:
A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]3 & 2 & 4\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}5\\[4pt]6\\[4pt]17\end{pmatrix}.
  • Pedido: encontrar o vetor solução \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} usando fatoração LU com pivotamento parcial (ou seja, permitir permutações de linhas quando necessário).]

Passo 2

Breve lembrança do que vamos fazer (sem resolver ainda): com pivotamento parcial procuramos, em cada coluna k, o maior pivô em módulo entre as linhas \{k,\dots,n\} e, se necessário, trocamos linhas. O objetivo é obter uma permutação P, uma matriz triangular inferior L com 1s na diagonal e uma matriz triangular superior U tais que
P A = L U.
Depois resolvemos L y = P b (substituição direta) e U x = y (substituição regressiva). Agora vamos aplicar isso passo a passo ao nosso A.

Passo 3

Primeiro passo do pivotamento (coluna 1): olhamos os elementos da coluna 1 nas linhas 1 a 3 e escolhemos o maior em valor absoluto:
|a_{11}|=|0|=0,\quad |a_{21}|=|1|=1,\quad |a_{31}|=|3|=3.
O maior é 3 na linha 3, portanto fazemos a troca da linha 1 com a linha 3. Essa operação gera uma matriz de permutação parcial inicial. Aplicando a troca em A e b obtemos:
P^{(1)}A = \begin{pmatrix}3 & 2 & 4\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad P^{(1)}b=\begin{pmatrix}17\\[4pt]6\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Vou usar o método de Doolittle: começamos com U^{(1)}=P^{(1)}A e registramos os multiplicadores na coluna 1 de L. O pivô atual é u_{11}=3.]

Passo 4

Eliminação usando o pivô u_{11}=3:
  • Multiplicadores na coluna 1:
\ell_{21}=\frac{1}{3},\qquad \ell_{31}=\frac{0}{3}=0.
  • Atualizamos as linhas 2 e 3 de U:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - \ell_{21}\cdot\text{linha}_1
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \ell_{31}\cdot\text{linha}_1.
Cálculos:
\text{linha}_2: \\ (1,1,1) - \tfrac{1}{3}(3,2,4) = (1-1,\; 1-\tfrac{2}{3},\; 1-\tfrac{4}{3})=(0,\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3}).
\text{linha}_3: \\ (0,2,1) - 0\cdot(3,2,4)=(0,2,1).
Portanto, após essa etapa temos
U=\begin{pmatrix}3 & 2 & 4\\[4pt]0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt]0 & 2 & 1\end{pmatrix},
e os multiplicadores acumulados (na ordem das linhas atuais) são \ell_{21}=\tfrac{1}{3}, \ell_{31}=0.]

Passo 5

Agora olhamos a coluna 2 para pivotamento parcial entre as linhas 2 e 3 (a partir da segunda linha). Comparando os módulos dos elementos na coluna 2:
\left|\tfrac{1}{3}\right| \approx 0{,}333\quad\text{(linha 2)},\qquad |2|=2\quad\text{(linha 3)}.
O maior é 2 na linha 3, então trocamos as linhas 2 e 3 de U. Quando trocamos linhas na fase k também devemos trocar, para consistência, os multiplicadores já computados nas colunas anteriores de L (ou seja, trocar as entradas correspondentes em L nas linhas 2 e 3 para as colunas 1 a k-1). Aplicando a troca nas matrizes e no vetor de termos independentes resultantes após a primeira permutação, obtemos a permutação final dos índices das linhas:
  • Permutação final aplicada a A e b (ordem das linhas agora): \text{linha original 3},\\ \text{linha original 1},\\ \text{linha original 2}.
    Assim, U passa a ser
U=\begin{pmatrix}3 & 2 & 4\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix},
e o vetor permutado P b fica
P b=\begin{pmatrix}17\\[4pt]5\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Também atualizamos os multiplicadores da coluna 1 em L: originalmente \ell_{21}=\tfrac{1}{3},\\ \ell_{31}=0; após trocar as linhas 2 e 3 essas entradas trocam de lugar, ficando agora
\ell_{21}=0,\qquad \ell_{31}=\tfrac{1}{3}.
(Mais adiante colocaremos L completa.)]

Passo 6

Agora eliminamos usando o pivô u_{22}=2 (agora na segunda linha). O multiplicador é
\ell_{32}=\frac{u_{32}}{u_{22}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{2}=\tfrac{1}{6}.
Atualizamos a linha 3 de U:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \ell_{32}\cdot\text{linha}_2.
Cálculo da última linha:
\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3}\right) - \tfrac{1}{6}\cdot(2,1) = \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{6},\; -\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{6}\right) = \left(0,\; -\tfrac{1}{2}\right).
Portanto a terceira linha completa de U fica (0,0,-\tfrac{1}{2}). A matriz U final é
U=\begin{pmatrix}3 & 2 & 4\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 0 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora escrevemos explicitamente a permutação P, a matriz L (com 1s na diagonal) e U. Lembre que a ordem final das linhas de PA foi original row 3, original row 1, original row 2 .
A permutação P que faz isso é
P=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
A matriz L (registrando os multiplicadores na ordem das linhas permutadas) é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} & 1 \end{pmatrix}.
E já temos
U=\begin{pmatrix}3 & 2 & 4\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 0 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): multiplicando L U obtém-se exatamente P A (pode-se checar termo a termo).]

Passo 8

Resolver L y = P b por substituição direta (forward substitution). Temos
P b=\begin{pmatrix}17\\[4pt]5\\[4pt]6\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} & 1 \end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\\[4pt]y_3\end{pmatrix}.
Equações:
y_1 = 17,
y_2 = 5,
\tfrac{1}{3}y_1 + \tfrac{1}{6}y_2 + y_3 = 6.
Calculando y_3:
y_3 = 6 - \tfrac{1}{3}\cdot 17 - \tfrac{1}{6}\cdot 5.
Fazendo as frações: \tfrac{1}{3}\cdot17=\tfrac{17}{3}=\tfrac{34}{6}, \tfrac{1}{6}\cdot5=\tfrac{5}{6}, 6=\tfrac{36}{6}. Então
y_3 = \tfrac{36}{6}-\tfrac{34}{6}-\tfrac{5}{6}=\tfrac{-3}{6}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
y=\begin{pmatrix}17\\[4pt]5\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolver U x = y por substituição regressiva. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^T:
as equações de U x = y são
3x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 17,
2x_2 + 1x_3 = 5,
-\tfrac{1}{2}x_3 = -\tfrac{1}{2}.
Da terceira equação:
x_3 = 1.
Da segunda:
2x_2 + 1\cdot 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad 2x_2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 2.
Da primeira:
3x_1 + 2\cdot 2 + 4\cdot 1 = 17 \quad\Rightarrow\quad 3x_1 + 4 + 4 = 17,
3x_1 = 9 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 3.

Passo 10

Resultado final: o vetor solução é
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Ótimo — por pouco trabalho, com pivotamento parcial evitamos dividir por pivôs pequenos e chegamos num resultado inteiro e limpo. Força aí na prova: você já domina a lógica do procedimento!]

Resposta

x=3
y=2
z=1

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