(10 pontos) Escreva a equação da cônica na forma padrão. Determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e a equações das assíntotas. Faça o esboço do gráfico.
7 x^{2}-9 y^{2}+28 x+54 y-116=0

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a cônica
7x^{2}-9y^{2}+28x+54y-116=0
na forma padrão, identificar centro, vértices, focos, excentricidade e assíntotas, e fazer o esboço. O conteúdo é seção cônica (hipérbole) e vamos usar completamento de quadrado.

Passo 2

Agrupando os termos em x e y e completando quadrados, temos
7\bigl(x^{2}+4x\bigr)-9\bigl(y^{2}-6y\bigr)-116=0.
Escrevendo
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4,\quad y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9,
substituímos:
7\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)-9\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)-116=0.

Passo 3

Distribuindo e isolando os quadrados:
7(x+2)^{2}-28-9(y-3)^{2}+81-116=0 \;\Longrightarrow\; 7(x+2)^{2}-9(y-3)^{2}=63.
Dividindo por 63, obtemos a forma padrão:
\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-3)^{2}}{7}=1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x+2)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-3)^{2}}{b^{2}}=1
vemos que
a^{2}=9,\quad b^{2}=7,
logo a=3, b=\sqrt{7}. O centro é o ponto que anula os parênteses:
\text{Centro }(h,k)=(-2,3).

Passo 5

Vértices ficam a uma distância a ao longo do eixo transverso (horizontal):
(-2\pm3,\,3)\implies (1,3)\text{ e }(-5,3).
O parâmetro dos focos satisfaz c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+7=16, então c=4. Os focos são
(-2\pm4,\,3)\implies (2,3)\text{ e }(-6,3).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}.

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole com centro em (h,k) e abertura horizontal são
y-k=\pm\frac{b}{a}\,(x-h).
Substituindo h=-2, k=3, b=\sqrt{7}, a=3, resulta
y-3=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}\,(x+2).

Passo 7

Esboço: o centro fica em (-2,3), as assíntotas cruzam aí com inclinações \pm\sqrt{7}/3. A hipérbole abre para a direita passando pelo vértice (1,3) e para a esquerda passando por (-5,3).

Resposta

Equação na forma padrão:
\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-3)^{2}}{7}=1.
Centro: (-2,3)
Vértices: (1,3) e (-5,3)
Focos: (2,3) e (-6,3)
Excentricidade: e=\tfrac{4}{3}
Assíntotas:
y-3=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}(x+2).
Esboço: hipérbole com eixo transverso horizontal, centro em (-2,3), vértices em (1,3) e (-5,3), assíntotas de inclinação \pm\sqrt{7}/3.

Exercícios relacionados