(10 pontos) Escreva a equação da cônica na forma padrão. Determine o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e a equações das assíntotas. Faça o esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a cônica
na forma padrão, identificar centro, vértices, focos, excentricidade e assíntotas, e fazer o esboço. O conteúdo é seção cônica (hipérbole) e vamos usar completamento de quadrado.
Passo 2
Agrupando os termos em
e
e completando quadrados, temos
Escrevendo
substituímos:
Passo 3
Distribuindo e isolando os quadrados:
Dividindo por
, obtemos a forma padrão:
Passo 4
Da forma
vemos que
logo
,
. O centro é o ponto que anula os parênteses:
Passo 5
Vértices ficam a uma distância
ao longo do eixo transverso (horizontal):
O parâmetro dos focos satisfaz
, então
. Os focos são
A excentricidade é
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole com centro em
e abertura horizontal são
Substituindo
,
,
,
, resulta
Passo 7
Esboço: o centro fica em
, as assíntotas cruzam aí com inclinações
. A hipérbole abre para a direita passando pelo vértice
e para a esquerda passando por
.
Resposta
Equação na forma padrão:
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas:
Esboço: hipérbole com eixo transverso horizontal, centro em
, vértices em
e
, assíntotas de inclinação
.