(Questão 04) [2,0 pontos] Prove que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a semidiferença das medidas das bases.

Passo 1

O enunciado diz que em trapézio ABCD com bases AB e CD (logo AB\parallel CD), precisamos provar que o segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD é paralelo às bases e que sua medida vale a semidiferença das medidas das bases. Vamos usar geometria vetorial, representando as posições dos pontos por vetores e calculando o vetor desse segmento.

Passo 2

Seja M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Tomando O como origem vetorial arbitrária, temos
\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}, \qquad \vec{ON} = \frac{\vec{OB} + \vec{OD}}{2}.

Passo 3

O vetor que vai de M a N é
\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{\vec{OB} + \vec{OD}}{2} \;-\; \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{(\vec{OB}-\vec{OA}) + (\vec{OD}-\vec{OC})}{2} = \frac{\vec{AB} + \vec{DC}}{2}.

Passo 4

Como AB\parallel CD, os vetores \vec{AB} e \vec{CD} são paralelos e satisfazem \vec{DC}=-\vec{CD}. Então
\vec{MN} = \frac{\vec{AB} - \vec{CD}}{2},
que é paralelo a \vec{AB} (e a \vec{CD}). Logo, MN é paralelo às bases do trapézio.

Passo 5

Para obter o comprimento de MN, basta tomar o módulo de \vec{MN}:
MN = \bigl|\vec{MN}\bigr| = \frac{1}{2}\bigl|\vec{AB}-\vec{CD}\bigr| = \frac{\bigl||AB| - |CD|\bigr|}{2} = \frac{|CD - AB|}{2},
isto é, a semidiferença das medidas das bases.

Resposta

O segmento que une os pontos médios das diagonais é paralelo às bases e sua medida é
\frac{|CD - AB|}{2}.

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