(2,0 pontos) Considere uma firma que atua em dois mercados: A e B. A demanda inversa no mercado A é dada por p_{A}=A-q_{A} e a demanda inversa no mercado B é dada por p_{B}=B-q_{B}, onde A, B>0. A função custo da firma é c\left(q_{A}+q_{B}\right)=\frac{1}{2}\left(q_{A}+q_{B}\right)^{2}. Assim, a função lucro da firma é dada por:
A firma escolhe q_{A} e q_{B} de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações:
(a) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma.
Passo 1
O problema é de maximização de lucro em dois produtos (mercados A e B). A demanda inversa em A é \;p_A=A-q_A; e em B é \;p_B=B-q_B;, o custo é
Para resolver, vamos usar cálculo multivariável: igualar derivadas parciais a zero (condições de primeira ordem) e depois checar o sinal das segundas derivadas (condições de segunda ordem).
Passo 2
Derivamos \pi em relação a cada quantidade e igualamos a zero. Primeiro,