(2,0 pontos) Considere uma firma que atua em dois mercados: A e B. A demanda inversa no mercado A é dada por p_{A}=A-q_{A} e a demanda inversa no mercado B é dada por p_{B}=B-q_{B}, onde A, B>0. A função custo da firma é c\left(q_{A}+q_{B}\right)=\frac{1}{2}\left(q_{A}+q_{B}\right)^{2}. Assim, a função lucro da firma é dada por:
\pi\left(q_{A}, q_{B}\right)=\left(A-q_{A}\right) q_{A}+\left(B-q_{B}\right) q_{B}-\frac{1}{2}\left(q_{A}+q_{B}\right)^{2}
A firma escolhe q_{A} e q_{B} de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações:
(a) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma.

Passo 1

O problema é de maximização de lucro em dois produtos (mercados A e B). A demanda inversa em A é \;p_A=A-q_A; e em B é \;p_B=B-q_B;, o custo é
c(q_A+q_B)=\tfrac12\,(q_A+q_B)^2,
logo a função lucro é
\pi(q_A,q_B)=(A-q_A)\,q_A+(B-q_B)\,q_B-\tfrac12\,(q_A+q_B)^2.
Para resolver, vamos usar cálculo multivariável: igualar derivadas parciais a zero (condições de primeira ordem) e depois checar o sinal das segundas derivadas (condições de segunda ordem).

Passo 2

Derivamos \pi em relação a cada quantidade e igualamos a zero. Primeiro,
\frac{\partial \pi}{\partial q_A} =\frac{\partial}{\partial q_A}\Bigl[(A-q_A)q_A\Bigr] -\frac{\partial}{\partial q_A}\Bigl[\tfrac12\,(q_A+q_B)^2\Bigr] =A-2q_A-(q_A+q_B) =A-3q_A-q_B,
logo
A-3q_A-q_B=0.
Em seguida,
\frac{\partial \pi}{\partial q_B} =B-2q_B-(q_A+q_B) =B-q_A-3q_B,
logo
B-q_A-3q_B=0.
Essas são as condições de primeira ordem.

Passo 3

Para as condições de segunda ordem, montamos a matriz Hessiana de \pi:
\frac{\partial^2\pi}{\partial q_A^2}=-3, \quad \frac{\partial^2\pi}{\partial q_A\partial q_B}=-1, \quad \frac{\partial^2\pi}{\partial q_B^2}=-3.
A Hessiana é
H = \begin{pmatrix} -3 & -1\\\\ -1 & -3 \end{pmatrix}.
Para garantir máximo, H deve ser definida negativa. Basta verificar que
\frac{\partial^2\pi}{\partial q_A^2}=-3<0
e
\det(H)=(-3)(-3)-(-1)^2=9-1=8>0.
Como o primeiro menor principal é negativo e o determinante é positivo, H é negativa-definida e temos de fato um máximo.

Resposta

(a) As condições de primeira ordem são
A - 3q_A - q_B = 0, \quad B - q_A - 3q_B = 0.
(b) As condições de segunda ordem exigem que a Hessiana
H=\begin{pmatrix}-3 & -1\\\ -1 & -3\end{pmatrix}
seja negativa-definida, o que ocorre pois \partial^2\pi/\partial q_A^2=-3<0 e \det(H)=8>0.

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