(2,0 pontos) Considere o problema de maximizar
sujeito a
.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado trata de um problema de otimização com restrição de igualdade: maximizar
sujeito a
com
e
. O conteúdo envolvido é verificação da qualificação de restrições (LICQ) e aplicação do método de Lagrange para condições de primeira ordem (CPO).
Passo 2
Para verificar a qualificação de restrição devemos checar se o gradiente da função restrição
é não nulo em qualquer ponto viável. Calculamos
Como
, a restrição é regular e a LICQ está satisfeita.
Passo 3
Construímos a Lagrangiana
As condições de primeira ordem exigem
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
e a restrição
Igualando
obtemos
. Substituindo em
dá
Resposta
(a) A qualificação de restrição (LICQ) é satisfeita porque
.
(b) O candidato a solução pelas condições de primeira ordem é (com
).
(b) O candidato a solução pelas condições de primeira ordem é