(2,0 pontos) Considere o problema de maximizar f(x, y)=\ln x+\ln y sujeito a x+2 y=12.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de otimização com restrição de igualdade: maximizar
f(x,y)=\ln x + \ln y
sujeito a
x + 2y = 12,
com x>0 e y>0. O conteúdo envolvido é verificação da qualificação de restrições (LICQ) e aplicação do método de Lagrange para condições de primeira ordem (CPO).

Passo 2

Para verificar a qualificação de restrição devemos checar se o gradiente da função restrição
g(x,y)=x+2y-12
é não nulo em qualquer ponto viável. Calculamos
\nabla g(x,y)=\bigl(\tfrac{\partial g}{\partial x},\,\tfrac{\partial g}{\partial y}\bigr)=(1,2).
Como (1,2)\neq(0,0), a restrição é regular e a LICQ está satisfeita.

Passo 3

Construímos a Lagrangiana
L(x,y,\lambda)=\ln x + \ln y \;-\;\lambda\,(x+2y-12).
As condições de primeira ordem exigem
\frac{\partial L}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial L}{\partial x}=\frac1{x}-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac1{x},
\frac{\partial L}{\partial y}=\frac1{y}-2\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac1{2y},
e a restrição
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x+2y-12)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2y=12.
Igualando \tfrac1{x}=\tfrac1{2y} obtemos x=2y. Substituindo em x+2y=12
2y+2y=12 \quad\Longrightarrow\quad y=3, \quad x=6.

Resposta

(a) A qualificação de restrição (LICQ) é satisfeita porque \nabla g(x,y)=(1,2)\neq(0,0).
(b) O candidato a solução pelas condições de primeira ordem é (x,y)=(6,3) (com \lambda=1/6).

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