(10 pontos) Faca um esboço do gráfico da função f que satisfaz as seguintes
(a) Dom(f)=R--1,1
(b) f é contínua em Dom(f).
(c) f é crescente em (-infty, 11)
(d) f é crescente em (-1,0)
(e) f é crescente em (0,1)
(f) f é crescente em (1,2)
(g) f é decrescente em (2, infty)
(h) f é côncava para cima em (-infty,-1)
(i) f é côncava para baixo em (-1,0)
(j) f é côncava para cima em (0,1)
(k) f é côncava para baixo em (1,3)
(l) f é côncava para cima em (3, infty)
(m) A assintota horizontal ao gráfico é y=1
(n) As assintotas verticais ao gráfico são x=-1 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico de uma função f cuja matéria envolve análise de domínio, assíntotas, monotonicidade e concavidade. Precisamos usar:
  • Domínio Rsetminus-1,1 e continuidade em todo ponto desse domínio.
  • Assíntotas verticais em x=-1 e em x=1.
  • Assíntota horizontal y=1.
  • Intervalos de crescente/decrescente e de concavidade trocada em pontos críticos -1,0,1,2,3.

Passo 2

Marcar as assíntotas:
  • Traçar em traço pontilhado as retas verticais x=-1 e x=1.
  • Traçar em traço pontilhado a reta horizontal y=1.

Passo 3

Identificar e dividir os intervalos de estudo em cinco partes:
1. (-infty,-1) 2. (-1,0) 3. (0,1) 4. (1,2) 5. (2,infty)

Passo 4

Analisar monotonicidade em cada parte:
  • Em (-infty,-1): f é crescente.
  • Em (-1,0): f é crescente.
  • Em (0,1): f é crescente.
  • Em (1,2): f é crescente.
  • Em (2,infty): f é decrescente.
Isso significa que em cada intervalo, ao percorrermos x da esquerda para a direita, o valor de f(x) sobe (exceto após x=2, onde começa a descer).

Passo 5

Analisar concavidade em cada parte:
  • Em (-infty,-1): concava para cima.
  • Em (-1,0): côncava para baixo.
  • Em (0,1): côncava para cima.
  • Em (1,3): côncava para baixo.
  • Em (3,infty): côncava para cima.
Assim, em cada intervalo a curvatura do gráfico muda conforme indicado.

Passo 6

Descrever qualitativamente o comportamento próximo às assíntotas e no infinito:
  • Ao xto -1^pm e xto1^pm, f(x)topminfty de modo a manter a continuidade em cada ramo.
  • Ao xtopminfty, o gráfico se aproxima de y=1 (assíntota horizontal).

Passo 7

Combinar monotonicidade e concavidade para desenhar cada ramo:
  • (– infty,– 1): crescente e côncavo para cima, aproximando-se de y=1 por baixo à esquerda e disparando para +infty ao chegar em x=-1^-.
  • (– 1,0): crescente e côncavo para baixo, saindo de infty em x=-1^+ e subindo até um ponto de inflexão em x=0.
  • ( 0,1): crescente e côncavo para cima, subindo suavemente de f(0) até disparar para +infty em x=1^-.
  • ( 1,2): crescente e côncavo para baixo, saindo de infty em x=1^+ e atingindo um máximo local em x=2.
  • ( 2, infty): decrescente; de f(2) cai, com concavidade para baixo até x=3, depois côncava para cima, aproximando-se de y=1 por cima ou por baixo conforme o ajuste.

Resposta

O esboço consiste em cinco ramos lisos e contínuos, separados pelas assíntotas verticais em x=-1 e x=1, todos comportando-se conforme a monotonicidade e concavidade indicadas, e todos tendendo a y=1 quando |x|toinfty.

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