(10 pontos) Faca um esboço do gráfico da função
que satisfaz as seguintes
(a)
(b)
é contínua em
.
(c)
é crescente em
(d)
é crescente em
(e)
é crescente em
(f)
é crescente em
(g)
é decrescente em
(h)
é côncava para cima em
(i)
é côncava para baixo em
(j)
é côncava para cima em
(k)
é côncava para baixo em
(l)
é côncava para cima em
(m) A assintota horizontal ao gráfico é
(n) As assintotas verticais ao gráfico são
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) A assintota horizontal ao gráfico é
(n) As assintotas verticais ao gráfico são
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico de uma função
cuja matéria envolve análise de domínio, assíntotas, monotonicidade e concavidade. Precisamos usar:
- Domínio
e continuidade em todo ponto desse domínio. - Assíntotas verticais em
e em . - Assíntota horizontal
. - Intervalos de crescente/decrescente e de concavidade trocada em pontos críticos
.
Passo 2
Marcar as assíntotas:
- Traçar em traço pontilhado as retas verticais
e . - Traçar em traço pontilhado a reta horizontal
.
Passo 3
Identificar e dividir os intervalos de estudo em cinco partes:
.
.
.
.
.
Passo 4
Analisar monotonicidade em cada parte:
- Em
: é crescente. - Em
: é crescente. - Em
: é crescente. - Em
: é crescente. - Em
: é decrescente.
Isso significa que em cada intervalo, ao percorrermos
da esquerda para a direita, o valor de
sobe (exceto após
, onde começa a descer).
Passo 5
Analisar concavidade em cada parte:
- Em
: concava para cima. - Em
: côncava para baixo. - Em
: côncava para cima. - Em
: côncava para baixo. - Em
: côncava para cima.
Assim, em cada intervalo a curvatura do gráfico muda conforme indicado.
Passo 6
Descrever qualitativamente o comportamento próximo às assíntotas e no infinito:
- Ao
e , de modo a manter a continuidade em cada ramo. - Ao
, o gráfico se aproxima de (assíntota horizontal).
Passo 7
Combinar monotonicidade e concavidade para desenhar cada ramo:
- (–
,– ): crescente e côncavo para cima, aproximando-se de por baixo à esquerda e disparando para ao chegar em . - (–
): crescente e côncavo para baixo, saindo de em e subindo até um ponto de inflexão em . - (
): crescente e côncavo para cima, subindo suavemente de até disparar para em . - (
): crescente e côncavo para baixo, saindo de em e atingindo um máximo local em . - (
, ): decrescente; de cai, com concavidade para baixo até , depois côncava para cima, aproximando-se de por cima ou por baixo conforme o ajuste.
Resposta
O esboço consiste em cinco ramos lisos e contínuos, separados pelas assíntotas verticais em
e
, todos comportando-se conforme a monotonicidade e concavidade indicadas, e todos tendendo a
quando
.