Se um balonista joga um saco de areia de um balão a 500 m de altura então o saco de areia estará numa altura (em metros) h(t)=500-16 t^2 após t segundos. Determine:
a) sua velocidade em t=2;
b) em qual instante, com qual velocidade e aceleração o saco atingirá o solo.
Análoga à questão anterior.

Passo 1

O enunciado dá a altura do saco de areia em função do tempo por
h(t)=500-16t^2,
onde t está em segundos e h em metros. Queremos (a) a velocidade em t=2 e (b) o instante em que h(t)=0, além da velocidade e da aceleração nesse instante. Para isso vamos usar derivadas: a velocidade é v(t)=h'(t) e a aceleração é a(t)=h''(t).

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivada de h(t). Como
h(t)=500-16t^2,
temos
v(t)=h'(t)=-32t
e
a(t)=h''(t)=-32

Passo 3

Para t=2 segundos, substituímos em v(t):
v(2) = -32 cdot 2 = -64
Logo, a velocidade no instante t=2 é -64,m/s (o sinal negativo indica movimento para baixo).

Passo 4

Para achar o instante de queda, resolvemos h(t)=0:
500-16t^2=0 Longrightarrow t^2=50016 Longrightarrow t=raiz50016=5raiz52approx 5,59 s

Passo 5

No instante t=5raiz52, a velocidade é
vl(tfrac5raiz52r) =-32cdot 5raiz52 =-80raiz5approx -178,9 m/s,
e a aceleração permanece constante
al(tfrac5raiz52r)=-32 m/s^2

Resposta

(a) ;v(2)=-64 m/s
(b) O saco atinge o solo em
t=5raiz52approx 5,59 s,
com velocidade
v=-80raiz5approx -178,9 m/s
e aceleração
a=-32 m/s^2

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