Calcule as seguintes integrais:
integral0^4 x^2 ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de x^2 ln(x) de 0 a 4. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse método, a gente escolhe quais partes da nossa função serão u e dv . No nosso caso, temos x^2 ln(x) , então vamos definir:
u = ln(x) e dv = x^2 dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v :
du = 1x dx
v = integral x^2 dx = x^33

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x^2 ln(x) dx = uv - integral v , du
= x^33 ln(x) - integral x^33 cdot 1x dx
Simplificando a integral restante:
= x^33 ln(x) - 13 integral x^2 dx

Passo 5

Vamos calcular a integral simples:
integral x^2 dx = x^33
Substituindo de volta:
= x^33 ln(x) - 13 cdot x^33
= x^33 ln(x) - x^39

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de 0 a 4:
[ 4^33 ln(4) - 4^39 ] - [ 0^33 ln(0) - 0^39 ]
Sabemos que 0 times ln(0) tende a 0, então a parte de baixo desaparece:
= 643 ln(4) - 649

Resposta

643 ln(4) - 649

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