Calcule as seguintes integrais:
integral2^3 d xx ln (x)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral
integral2^3 dxx,ln(x)
Isso é cálculo de integrais definidas e a técnica que vamos usar é a substituição. A gente precisa lembrar que a derivada de ln(x) é tfrac1x e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo pra avaliar nos limites.

Passo 2

Vamos escolher a substituição
u = ln(x),
daí
du = 1x,dx Longrightarrow dxx = du
Também trocamos os limites: quando x=2, u=ln(2); quando x=3, u=ln(3).
Então a integral original vira
integral2^3 dxx,ln(x) =integralln(2)^ln(3) duu

Passo 3

A integral
integral duu
é a clássica que dá lnlvert urvert + C.
Como temos limites, usamos
integralln(2)^ln(3) duu =l[lnlvert urvertr]ln(2)^ln(3) =lnl(ln(3)r)-lnl(ln(2)r)

Passo 4

Pra deixar mais limpinho, a diferença de log a gente junta num único log de quociente:
lnl(ln(3)r)-lnl(ln(2)r) =ln!l(ln(3)ln(2)r)

Resposta

ln!l(ln(3)ln(2)r)

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