(10 pontos) A função de onda de um elétron livre, ou seja, de um elétron que não está força, é dada por psi(x)=A e^i(5 times 10^10 x), na qual x está em metros. Determine:
(a) ( 2,5 pontos) O momento linear do elétron.
(b) ( 5 pontos) A energia total do elétron em elétron-volts.
(c) (2,5 pontos) O comprimento de onda de de Broglie do elétron;

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda de um elétron livre
psi(x)=A,e^il(5times10^10,xr)
com x em metros. O conteúdo é mecânica quântica de partícula livre: precisamos do número de onda k, do momento linear p, da energia total E (que, para elétron livre, é apenas cinética) e do comprimento de onda de de Broglie lambda. Usaremos as constantes
hbar=1,054times10^-34, Jcdot s,
me=9,109times10^-31,kg,
e =1,602times10^-19,C (para converter joule em eV).

Passo 2

Da forma de onda identificamos o número de onda
k = 5times10^10,m^-1
Em mecânica quântica unidimensional, e^i k x é autovetor do operador momento hat p = -,ihbar,ddx com autovalor
p = hbar,k

Passo 3

Substituindo os valores numéricos em
p = hbar,k
temos
p = (1,054times10^-34,Jcdots),(5times10^10,m^-1) =5,27times10^-24,kgcdotm/s

Passo 4

A energia cinética de uma partícula livre é
E = p^22,me
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E = l(5,27times10^-24r)^22,(9,109times10^-31) =1,525times10^-17,J

Passo 5

Para expressar E em elétron-volts, dividimos por e=1,602times10^-19,J/eV:
E = 1,525times10^-17,J1,602times10^-19,J/eV approx95,2;eV

Passo 6

O comprimento de onda de Broglie é
lambda = 2pik = 2pi5times10^10,m^-1 approx1,26times10^-10,m

Resposta

(a) p = 5,27times10^-24,k gcdot m/s
(b) E approx 95,2,eV
(c) lambda approx 1,26times10^-10,m

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