Um giroscópio consiste de um disco de 48,7 cm de raio, montado no meio de uma haste com 12,2 cm de comprimento, de modo que possa girar e processar livremente. A velocidade de rotação é de 975 rev / min As massas do disco e do eixo são respectivamente 1,14 kg e 130 g . Ache o tempo necessário para uma precessão, quando a haste é sustentada por uma extremidade e é horizontal.

Passo 1

O enunciado trata de um giroscópio constituído por um disco de raio (R=0,487 m) e massa (md=1,14 kg) montado numa haste de comprimento (L=0,122 m) e massa (mh=0,130 kg). O disco gira com frequência 975 rev/min. Quando a haste está horizontal apoiada numa extremidade, o peso do conjunto exerce um torque que faz o giroscópio precessionar. Para achar o tempo de uma volta de precessão, precisamos:
  1. calcular o torque resultante devido ao peso do disco e da haste,
  2. calcular o momento angular de rotação do disco,
  3. usar a fórmula da velocidade de precessão
  4. obter o período de precessão Tp.

Passo 2

Calcular o torque total tau em relação ao ponto de apoio:
– o disco pesa md g atuando a uma distância L,
– a haste pesa mh g atuando no seu centro em L/2.
Logo,
tau = md g,L ;+; mh g,L2
Substituindo g=9,8 m/s^2, md=1,14 kg, mh=0,130 kg e L=0,122 m:
tau = 1,14cdot9,8cdot0,122 ;+; 0,130cdot9,8cdot0,061 approx 1,3629 ;+; 0,0777 = 1,4406 N,m

Passo 3

Calcular o momento de inércia do disco em relação ao seu eixo de simetria:
I = 12,md,R^2 = 12cdot1,14cdot(0,487)^2 approx 0,1352 kg,m^2

Passo 4

Converter a frequência de rotação em velocidade angular omegas:
975 rev/min = 97560 rev/s approx 16,25 rev/s,
omegas = 2picdot16,25 approx 102,1 rad/s
O momento angular do disco é
L = I,omegas approx 0,1352cdot102,1 = 13,806 kg,m^2/s

Passo 5

A velocidade angular de precessão Omegap é dada por
Omegap = tauL = 1,440613,806 approx 0,1043 rad/s

Passo 6

O tempo de uma volta de precessão Tp é
Tp = 2piOmegap = 2pi0,1043 approx 60,2 s

Resposta

O tempo necessário para uma precessão completa é aproximadamente 60,2 s.

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