(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício é de cálculo, especificamente de limites no infinito. Para resolver, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando $ x $ tende a menos infinito e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, olhamos para o numerador $ 2x + 1 $. Quando $ x $ vai para menos infinito, $ 2x $ também vai para menos infinito, já que multiplicar um número negativo muito grande por 2 ainda dá um número negativo muito grande. O termo $ +1 $ é insignificante comparado a $ 2x $, então podemos considerar que o numerador se comporta como $ 2x $.
Passo 3
Agora, analisamos o denominador $ \sqrt[3]{x^{2} + 1} $. A raiz cúbica de $ x^{2} $ é $ \sqrt[3]{x^{2}} = |x|^{2/3} $. Como $ x $ está indo para menos infinito, $ |x| = -x $. Portanto, $ \sqrt[3]{x^{2} + 1} $ se comporta como $ \sqrt[3]{x^{2}} = (-x)^{2/3} = (-1)^{2/3} \cdot x^{2/3} $. Sabemos que $ (-1)^{2/3} = 1 $, então o denominador simplifica para $ x^{2/3} $.
Passo 4
Agora, substituímos as simplificações na expressão original:
Passo 5
Simplificamos a fração dividindo $ 2x $ por $ x^{2/3} $:
Passo 6
Agora, calculamos o limite de $ 2x^{1/3} $ quando $ x $ tende a menos infinito. Sabemos que $ x^{1/3} $ é a raiz cúbica de $ x $, que para $ x $ negativo dá um número negativo. Conforme $ x $ vai para menos infinito, $ x^{1/3} $ também vai para menos infinito.
Resposta
O limite é $ -\infty $.