(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando $ x $ se aproxima de 3. A função é:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos entender como o comportamento da função se comporta perto de $ x = 3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: $ \sqrt[3]{x-3} $. A raiz cúbica de $ x-3 $ significa que estamos pegando o valor de $ x $ menos 3 e tirando a raiz cúbica desse resultado.
Quando $ x $ se aproxima de 3, $ x - 3 $ se aproxima de 0. Então, temos:
Passo 3
Agora, olhando para a fração inteira:
Se o denominador está se aproximando de 0, precisamos entender de que lado ele está se aproximando. Vamos considerar dois casos:
-
Quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita ($ x > 3 $):Então, o denominador está positivo e se aproxima de 0, o que faz com que a fração vá para $ +\infty $.
-
Quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda ($ x < 3 $):Aqui, o denominador é negativo e se aproxima de 0, então a fração tende para $ -\infty $.
Passo 4
Como os limites laterais não são iguais (um vai para $ +\infty $ e o outro para $ -\infty $), o limite geral não existe. Matemáticamente, dizemos que o limite diverge.
Resposta
O limite
não existe, pois tende para $ +\infty $ pela direita e para $ -\infty $ pela esquerda.