Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
Passo 1
O problema é a equação da onda unidimensional
utt=c^2uxx,
com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0, condição inicial de deslocamento
u(x,0)=f(x),
e velocidade inicial nula ut(x,0)=0.
Conteúdo: separação de variáveis e séries de Fourier seno para representar f(x).
Passo 2
Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x)T(t). A separação leva a
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
com lambda>0. As condições X(0)=X(L)=0 exigem autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autofunções Xn(x)=sin(npi x/L). Para cada n
Tn(t)=Ancos!l(npi c t/Lr)+Bnsin!l(npi c t/Lr)
Como ut(x,0)=0, obtemos Bn=0. Logo a solução geral é