Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento sem nenhuma velocidade inicial a partir de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
& f(x)= 2 x / L, & 0 <= x <= L / 2, 2(L-x) / L, & L / 2<x <= L & (13.2) f(x)= 4 x / L, & 0 <= x <= L / 4, 1, & L / 4<x<3 L / 4 4(L-x) / L, & 3 L / 4 <= x <= L & (13.3) f(x)=l 1, L / 2-1<x<L / 2+1 (L>2) 0, caso contrário & (13.4) f(x)=8 x(L-x)^2 / L^3 á

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional
utt=c^2uxx,
com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0, condição inicial de deslocamento
u(x,0)=f(x),
e velocidade inicial nula ut(x,0)=0.
Conteúdo: separação de variáveis e séries de Fourier seno para representar f(x).

Passo 2

Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x)T(t). A separação leva a
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
com lambda>0. As condições X(0)=X(L)=0 exigem autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autofunções Xn(x)=sin(npi x/L). Para cada n
Tn(t)=Ancos!l(npi c t/Lr)+Bnsin!l(npi c t/Lr)
Como ut(x,0)=0, obtemos Bn=0. Logo a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyAncos!l(tfracnpi cLtr),sin!l(tfracnpiLxr)

Passo 3

Para ajustar u(x,0)=f(x) escrevemos
f(x)=sumn=1^inftyAn,sin!l(npi x/Lr),
onde os coeficientes An vêm da série de Fourier seno:
An=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(tfracnpiLxr),dx
Portanto, para cada caso abaixo
u(x,t)=sumn=1^inftygl[2Lintegral0^Lf(x)sin!l(tfracnpiLxr),dxgr]cos!l(tfracnpi cLtr)sin!l(tfracnpiLxr)

Passo 4

Para o caso (13.2)
f(x)= 4x/L,&0<= x<= L/4, 1,&L/4<x<3L/4, 4(L-x)/L,&3L/4<= x<= L,
temos
An=2Ll[integral0^L/44xLsinl(tfracnpi xLr)dx +integralL/4^3L/41cdotsinl(tfracnpi xLr)dx +integral3L/4^L4(L-x)Lsinl(tfracnpi xLr)dxr]
Substituindo em
u(x,t)=sumn=1^inftyAncos!l(tfracnpi cLtr)sin!l(tfracnpiLxr)
temos a solução para (13.2).

Passo 5

Para o caso (13.3)
f(x)= 1,&L/2-1<x<L/2+1(L>2), 0,&caso contrário, á
os coeficientes são
An =2LintegralL/2-1^,L/2+1sinl(tfracnpi xLr),dx =2Ll[!-,Lnpicos!l(tfracnpi xLr)r]x=L/2-1^,L/2+1
E
u(x,t)=sumn=1^inftyAncos!l(tfracnpi cLtr)sin!l(tfracnpiLxr)

Passo 6

Para o caso (13.4)
f(x)=8,x,(L-x)^2L^3,
temos
An =2Lintegral0^L8,x,(L-x)^2L^3 sin!l(tfracnpi xLr),dx =16L^4integral0^Lx(L-x)^2sin!l(tfracnpi xLr),dx,
e a solução
u(x,t)=sumn=1^inftyAncos!l(tfracnpi cLtr)sin!l(tfracnpiLxr)

Resposta

Em todos os três casos a solução fica
boxedu(x,t)=sumn=1^infty l[tfrac2L!integral0^Lf(x)sin!l(tfracnpi xLr),dxr] cos!l(tfracnpi cLtr), sin!l(tfracnpiLxr),
onde para cada função f(x) inserimos o integral respectivo mostrado nos passos acima.

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