Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n^2 e^-n^2

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente usar o Teste da Integral para descobrir se a série sumn=1^infty n^2 e^-n^2 converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como relacionar elas com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma função f(x) que é positiva, contínua e decrescente para x >= N (onde N é algum número natural), então a série sumn=N^infty f(n) e a integral integralN^infty f(x) dx vão ou ambas convergir ou ambas diverger. Ou seja, se a integral convergir, a série também converge, e se a integral divergir, a série também diverge.

Passo 3

Vamos verificar se a função f(x) = x^2 e^-x^2 satisfaz os requisitos:
  • Positiva: Para todo x >= 1, x^2 é positivo e e^-x^2 também é positivo (já que a exponencial de um número real é sempre positiva). Então, f(x) é positiva.
  • Contínua: A função é composta por x^2 (um polinômio) e e^-x^2 (uma função exponencial), que são ambas contínuas. Portanto, f(x) é contínua.
  • Decrescente: Vamos derivar f(x) para ver se ela está realmente diminuindo:
f'(x) = ddx(x^2 e^-x^2) = 2x e^-x^2 + x^2 cdot (-2x) e^-x^2 = 2x e^-x^2 - 2x^3 e^-x^2 = 2x e^-x^2 (1 - x^2)
Para x >= 1, 1 - x^2 é negativo, então f'(x) <= 0. Isso mostra que f(x) é decrescente para x >= 1.
Como a função f(x) é positiva, contínua e decrescente para x >= 1, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral integral1^infty x^2 e^-x^2 dx. Se essa integral for finita (convergente), então a série também converge. Se for infinita (divergente), a série diverge.

Passo 5

Para resolver a integral, vamos usar a substituição u = x^2. Assim, temos:
du = 2x dx Rightarrow x dx = du2
Reescrevendo a integral:
integral x^2 e^-x^2 dx = integral x cdot x e^-x^2 dx = integral x cdot e^-u cdot du2x = 12 integral e^-u du
Integrando, obtemos:
12 (-e^-u) + C = 12 (-e^-x^2) + C
Agora, avaliando os limites de 1 até infty:
limb to infty 12 (-e^-b^2 + e^-1) = 12 (0 + e^-1) = e^-12
A integral resulta em e^-12, que é um número finito. Isso significa que a integral converge.

Resposta

Como a integral integral1^infty x^2 e^-x^2 dx é convergente, pelo Teste da Integral, a série sumn=1^infty n^2 e^-n^2 também é convergente.

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