Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente usar o Teste da Integral para descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como relacionar elas com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma função
que é positiva, contínua e decrescente para
(onde
é algum número natural), então a série
e a integral
vão ou ambas convergir ou ambas diverger. Ou seja, se a integral convergir, a série também converge, e se a integral divergir, a série também diverge.
Passo 3
Vamos verificar se a função
satisfaz os requisitos:
-
Positiva: Para todo
, é positivo e também é positivo (já que a exponencial de um número real é sempre positiva). Então, é positiva. -
Contínua: A função é composta por
(um polinômio) e (uma função exponencial), que são ambas contínuas. Portanto, é contínua. -
Decrescente: Vamos derivar
para ver se ela está realmente diminuindo:
Para
,
é negativo, então
. Isso mostra que
é decrescente para
.
Como a função
é positiva, contínua e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral
. Se essa integral for finita (convergente), então a série também converge. Se for infinita (divergente), a série diverge.
Passo 5
Para resolver a integral, vamos usar a substituição
. Assim, temos:
Reescrevendo a integral:
Integrando, obtemos:
Agora, avaliando os limites de
até
:
A integral resulta em
, que é um número finito. Isso significa que a integral converge.
Resposta
Como a integral
é convergente, pelo Teste da Integral, a série
também é convergente.