Seja f: R R definida por
l a x^2+b, se x<2 a, se x=2 2^x b-x, se x>2
(i) (10 pontos) Determine lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x).
(ii) (15 pontos) Determine a e b de modo que f seja uma função contínua.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função [f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) definida de forma diferente dependendo do valor de :
O exercício tem duas partes:
  1. Parte (i): Encontrar os limites de se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
  2. Parte (ii): Determinar os valores de e de modo que a função seja contínua em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Parte (i): Vamos calcular os limites quando x se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita.

Limite pela esquerda ( x 2^- ):

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2, usamos a definição f(x) = a x^2 + b .
Então,
limx 2^- f(x) = a cdot (2)^2 + b = 4a + b

Limite pela direita ( x 2^+ ):

Quando x se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores maiores que 2, usamos a definição f(x) = 2^x b - x .
Então,
limx 2^+ f(x) = 2^2 b - 2 = 4b - 2

Passo 3

Parte (ii): Para que a função f seja contínua em x = 2 , precisamos que:
  1. O limite pela esquerda seja igual ao limite pela direita.
  2. Ambos os limites sejam iguais ao valor da função em x = 2 , que é f(2) = a .
Então, temos as seguintes equações:
4a + b = 4b - 2 (igualdade dos limites)
4b - 2 = a (igualdade com o valor da função) çã

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
4a + b = 4b - 2
Vamos isolar a :
4a = 4b - 2 - b 4a = 3b - 2 a = 3b - 24
Segunda equação:
4b - 2 = a
Substituindo a da primeira equação na segunda:
4b - 2 = 3b - 24

Passo 5

Vamos resolver para b :
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
4 cdot (4b - 2) = 3b - 2 16b - 8 = 3b - 2
Agora, isolamos b :
16b - 3b = -2 + 8 13b = 6 b = 613
Agora que temos b , substituímos de volta para encontrar a :
a = 3b - 24 = 3 cdot 613 - 24 = 1813 - 26134 = -8134 = -213

Resposta

Os limites são limx 2^- f(x) = 4a + b e limx 2^+ f(x) = 4b - 2 .
Para que a função f seja contínua em x = 2 , os valores de a e b devem ser:
a = -213, b = 613

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