(i) (10 pontos) Determine lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x).
(ii) (15 pontos) Determine a e b de modo que f seja uma função contínua.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função [f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) definida de forma diferente dependendo do valor de :
O exercício tem duas partes:
Parte (i): Encontrar os limites de se aproxima de 2 pela esquerda () e pela direita ().
Parte (ii): Determinar os valores de e de modo que a função seja contínua em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Parte (i): Vamos calcular os limites quando x se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita.
Limite pela esquerda ( x 2^- ):
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2, usamos a definição f(x) = a x^2 + b .
Então,
limx 2^- f(x) = a cdot (2)^2 + b = 4a + b
Limite pela direita ( x 2^+ ):
Quando x se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores maiores que 2, usamos a definição f(x) = 2^x b - x .
Então,
limx 2^+ f(x) = 2^2 b - 2 = 4b - 2
Passo 3
Parte (ii): Para que a função f seja contínua em x = 2 , precisamos que:
O limite pela esquerda seja igual ao limite pela direita.
Ambos os limites sejam iguais ao valor da função em x = 2 , que é f(2) = a .
Então, temos as seguintes equações:
4a + b = 4b - 2 (igualdade dos limites)
4b - 2 = a (igualdade com o valor da função) çã
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
4a + b = 4b - 2
Vamos isolar a :
4a = 4b - 2 - b 4a = 3b - 2 a = 3b - 24
Segunda equação:
4b - 2 = a
Substituindo a da primeira equação na segunda:
4b - 2 = 3b - 24
Passo 5
Vamos resolver para b :
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
4 cdot (4b - 2) = 3b - 2 16b - 8 = 3b - 2
Agora, isolamos b :
16b - 3b = -2 + 8 13b = 6 b = 613
Agora que temos b , substituímos de volta para encontrar a :