Considere a seguinte série infinita:
Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
Passo 1
Então, temos que resolver a série infinita:
Vamos trabalhar com séries infinitas, especificamente buscando a soma parcial dessa série para entender se ela converge ou diverge. Para isso, precisamos encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial e usar isso para determinar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos a expressão:
Para simplificar essa fração, podemos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor frações complexas em termos mais simples.
Passo 3
Aplicando frações parciais na expressão
, procuramos números A e B tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de A e B substituindo valores de n que simplifiquem a equação. Se n = -1:
Se n = 0:
Passo 5
Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
Isso nos ajuda a ver que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 6
Agora, vamos somar os primeiros N termos da série para encontrar a soma parcial
:
Expandindo os termos:
Passo 7
Observamos que vários termos se cancelam:
Então, a soma parcial fica:
Passo 8
Para determinar se a série converge, analisamos o limite da soma parcial quando N tende ao infinito:
Passo 9
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a 1.