Considere a seguinte série infinita:
sumn=1^infty 1n(n+1)
Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.

Passo 1

Então, temos que resolver a série infinita:
sumn=1^infty 1n(n+1)
Vamos trabalhar com séries infinitas, especificamente buscando a soma parcial dessa série para entender se ela converge ou diverge. Para isso, precisamos encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial e usar isso para determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos a expressão:
1n(n+1)
Para simplificar essa fração, podemos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor frações complexas em termos mais simples.

Passo 3

Aplicando frações parciais na expressão 1n(n+1), procuramos números A e B tais que:
1n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) para eliminar os denominadores:
1 = A(n+1) + Bn

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de A e B substituindo valores de n que simplifiquem a equação. Se n = -1:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
Se n = 0:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1

Passo 5

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Isso nos ajuda a ver que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 6

Agora, vamos somar os primeiros N termos da série para encontrar a soma parcial SN:
SN = sumn=1^N ( 1n - 1n+1 )
Expandindo os termos:
SN = (1 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + dots + (1N - 1N+1)

Passo 7

Observamos que vários termos se cancelam:
SN = 1 - 1N+1
Então, a soma parcial fica:
SN = 1 - 1N+1

Passo 8

Para determinar se a série converge, analisamos o limite da soma parcial quando N tende ao infinito:
limN to infty SN = limN to infty (1 - 1N+1) = 1 - 0 = 1

Passo 9

Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n(n+1) converge e a sua soma é igual a 1.

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