Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Informações dadas e úteis:
- A função que vamos integrar é
. - O intervalo de integração é
. - A função
é contínua em (na verdade é contínua em todo ), então as hipóteses do Teorema Fundamental do Cálculo estão satisfeitas.
Passo 2
Vou lembrar a versão do Teorema Fundamental do Cálculo que usamos para integrais definidas: se
é contínua em
e
é uma primitiva de
(ou seja,
para todo
em
), então
Portanto, nosso objetivo é encontrar uma primitiva
de
e calcular
.
Passo 3
Vamos encontrar uma primitiva de
. Para isso é útil lembrar que podemos escrever
onde
é o logaritmo natural de
. Diferenciando
obtemos
Assim, a derivada de
é
. Invertendo esse raciocínio, uma primitiva de
é
pois ao derivar
aparece
confirmando que
é realmente uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com
, temos
Agora simplificamos:
Se quiser uma ideia do valor numérico,
, então
— mas o resultado exato e preferível é
.