Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
\int_{0}^{1} 5^{\mathrm{t}} \mathrm{dt}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} 5^{t}\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Informações dadas e úteis:
  • A função que vamos integrar é f(t)=5^{t}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função 5^{t} é contínua em [0,1] (na verdade é contínua em todo \mathbb{R}), então as hipóteses do Teorema Fundamental do Cálculo estão satisfeitas.

Passo 2

Vou lembrar a versão do Teorema Fundamental do Cálculo que usamos para integrais definidas: se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Portanto, nosso objetivo é encontrar uma primitiva F de f(t)=5^{t} e calcular F(1)-F(0).

Passo 3

Vamos encontrar uma primitiva de f(t)=5^{t}. Para isso é útil lembrar que podemos escrever
5^{t}=e^{t\ln 5},
onde \ln 5 é o logaritmo natural de 5. Diferenciando e^{t\ln 5} obtemos
\frac{d}{dt}\big(e^{t\ln 5}\big) = e^{t\ln 5}\cdot \ln 5 = 5^{t}\ln 5.
Assim, a derivada de 5^{t} é 5^{t}\ln 5. Invertendo esse raciocínio, uma primitiva de 5^{t} é
F(t)=\frac{5^{t}}{\ln 5},
pois ao derivar F aparece
F'(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{5^{t}}{\ln 5}\right)=\frac{5^{t}\ln 5}{\ln 5}=5^{t},
confirmando que F é realmente uma primitiva de f.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(t)=\dfrac{5^{t}}{\ln 5}, temos
\int_{0}^{1} 5^{t}\,dt = F(1)-F(0) = \frac{5^{1}}{\ln 5} - \frac{5^{0}}{\ln 5}.
Agora simplificamos:
\frac{5^{1}}{\ln 5} - \frac{5^{0}}{\ln 5} = \frac{5-1}{\ln 5} = \frac{4}{\ln 5}.
Se quiser uma ideia do valor numérico, \ln 5\approx 1,609, então \dfrac{4}{\ln 5}\approx 2,484 — mas o resultado exato e preferível é \dfrac{4}{\ln 5}.

Resposta

\dfrac{4}{\ln 5}

Exercícios relacionados