Calcule as integrais duplas abaixo e esboce a região de integração
\iint_{D} e^{x / y} d A, D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq y \leq 2, y \leq x \leq y^{3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D} e^{x/y}\,dA,
onde
D = \{(x,y)\mid 1 \le y \le 2,\;y \le x \le y^3\}.
Como as desigualdades já estão em função de y, vamos integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Escrevemos o iterado correspondente:
\int_{y=1}^{2}\!\!\int_{x=y}^{y^3} e^{x/y}\,dx\;dy.

Passo 3

Para a integral interna em x:
\int_{x=y}^{y^3} e^{x/y}\,dx,
fazemos u=\tfrac{x}{y}, logo dx = y\,du. Isso dá
\int e^{x/y}\,dx = \int e^{u}\,y\,du = y e^{u}.
Ao avaliar entre x=y ( u=1) e x=y^3 ( u=y^2), obtemos
y\bigl(e^{y^2}-e^{1}\bigr) = y\bigl(e^{y^2}-e\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral em y:
\int_{1}^{2}y\bigl(e^{y^2}-e\bigr)\,dy = \int_{1}^{2}y\,e^{y^2}\,dy \;-\; e\int_{1}^{2}y\,dy.
Sabemos que
\int y\,e^{y^2}\,dy = \tfrac12 e^{y^2}, \quad \int y\,dy = \tfrac12 y^2.

Passo 5

Avaliando de 1 a 2:
\Bigl[\tfrac12 e^{y^2}\Bigr]_{1}^{2} - e\Bigl[\tfrac12 y^2\Bigr]_{1}^{2} = \tfrac12\bigl(e^4 - e^1\bigr) - \tfrac{e}{2}\bigl(4-1\bigr) = \tfrac12 e^4 - \tfrac12 e - \tfrac{3e}{2} = \tfrac12 e^4 - 2e.

Passo 6

Esboço da região D:
– As linhas horizontais y=1 e y=2.
– A reta x=y (à esquerda) e a curva x=y^3 (à direita).
Para y\in[1,2], y^3\ge y, então a região fica entre essas duas curvas.

Resposta

\frac12 e^4 \;-\;2e.

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