Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.
Determine
, com
, que maximiza a soma
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função
sujeita à restrição
O conteúdo envolvido é otimização de função linear sobre uma região compacta (elipse) e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para tratar a fronteira
.
Passo 2
Como
é linear, não há pontos críticos no interior da elipse (pois
). Logo o máximo ocorre na fronteira dada por
Pelo método de Lagrange, igualamos
a um múltiplo de
.
Passo 3
Calculamos os gradientes:
As equações de Lagrange são
ou seja
Igualando as expressões para
vem
Passo 4
Substituímos
na restrição da fronteira:
Para maximizar
escolhemos
, ou seja
O valor máximo é