Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.
Determine (x, y), com x^{2}+4 y^{2} \leq 1, que maximiza a soma 2 x+y.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função
f(x,y)=2x+y
sujeita à restrição
x^{2}+4y^{2}\le1.
O conteúdo envolvido é otimização de função linear sobre uma região compacta (elipse) e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para tratar a fronteira x^{2}+4y^{2}=1.

Passo 2

Como f é linear, não há pontos críticos no interior da elipse (pois \nabla f\neq0). Logo o máximo ocorre na fronteira dada por
g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1=0.
Pelo método de Lagrange, igualamos \nabla f a um múltiplo de \nabla g.

Passo 3

Calculamos os gradientes:
\nabla f=(2,1), \quad \nabla g=(2x,8y).
As equações de Lagrange são
(2,1)=\lambda(2x,8y),
ou seja
2=2\lambda x\quad\Longrightarrow\quad1=\lambda x,
1=8\lambda y\quad\Longrightarrow\quad\lambda=\frac1{8y}.
Igualando as expressões para \lambda vem
\frac1{x}=\frac1{8y} \quad\Longrightarrow\quad x=8y.

Passo 4

Substituímos x=8y na restrição da fronteira:
(8y)^{2}+4y^{2}=64y^{2}+4y^{2}=68y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\frac1{68} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac1{\sqrt{68}}.
Para maximizar f escolhemos y>0, ou seja
y=\frac1{\sqrt{68}}=\frac1{2\sqrt{17}}, \quad x=8y=\frac8{\sqrt{68}}=\frac4{\sqrt{17}}.
O valor máximo é
f\bigl(4/\sqrt{17},\,1/(2\sqrt{17})\bigr) =2\cdot\frac4{\sqrt{17}}+\frac1{2\sqrt{17}} =\frac{8}{\sqrt{17}}+\frac{1}{2\sqrt{17}} =\frac{17}{2\sqrt{17}} =\frac{\sqrt{17}}2.

Resposta

\Bigl(x,y\Bigr)=\Bigl(\frac{4}{\sqrt{17}},\,\frac{1}{2\sqrt{17}}\Bigr).

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