(10 pontos) Questão 4: Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto \mathrm{F}_{1}(0,-4) e a medidado do éxo menor é 6. Determine sua equação na forma reduzida.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse de centro na origem com um foco em \mathrm{F}_1(0,-4) e eixo menor de comprimento 6. Vamos usar que, para elipse centrada na origem com eixo maior vertical, a forma reduzida é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
e que os parâmetros satisfazem
c^2 = a^2 - b^2,
onde c é a distância do centro a cada foco.

Passo 2

O eixo menor mede 6, logo
2b = 6 \quad\Longrightarrow\quad b = 3.
A distância focal é c = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4.

Passo 3

Substituindo em c^2 = a^2 - b^2:
4^2 = a^2 - 3^2 \quad\Longrightarrow\quad 16 = a^2 - 9 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 25,
portanto a = 5.

Passo 4

Como os focos estão no eixo y, o eixo maior é vertical e a equação reduzida fica
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1.
Substituindo b^2 = 9 e a^2 = 25, obtemos
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1

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