QUESTÃO 1 (2,0 Pontos). Os pontos A, B e C são os vértices de um triângulo. O ponto D não pertence ao plano determinado por estes pontos. Calcule as coordenadas do vetor \overrightarrow{A B} na base E=\{\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{C D}\}.

Passo 1

O enunciado dá três pontos A,B,C num mesmo plano e um ponto D fora desse plano, e pede as coordenadas do vetor \overrightarrow{AB} (que é B - A) na base
E = \{\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{BD},\,\overrightarrow{CD}\}.
O conteúdo é representação de vetores em base e vamos usar álgebra vetorial para expressar \overrightarrow{AB} como combinação linear dos vetores de E.

Passo 2

Suponhamos que existam escalares x,y,z tais que
\overrightarrow{AB} \;=\; x\,\overrightarrow{AD} \;+\; y\,\overrightarrow{BD} \;+\; z\,\overrightarrow{CD}.
Em termos de posição, \overrightarrow{AB}=B - A, \overrightarrow{AD}=D - A, \overrightarrow{BD}=D - B e \overrightarrow{CD}=D - C. Logo,
B - A \;=\; x\,(D - A)\;+\; y\,(D - B)\;+\; z\,(D - C).

Passo 3

Expandindo o lado direito,
x\,(D - A)\;+\; y\,(D - B)\;+\; z\,(D - C) = (x+y+z)\,D \;-\; x\,A \;-\; y\,B \;-\; z\,C.
O lado esquerdo é B - A = 0\cdot D \;-\;1\cdot A \;+\;1\cdot B \;+\;0\cdot C.

Passo 4

Comparando coeficientes dos pontos A,B,C,D:
para A: -1 = -x \Rightarrow x = 1,
para B: +1 = -y \Rightarrow y = -1,
para C: 0 = -z \Rightarrow z = 0,
para D: 0 = x + y + z \Rightarrow 1 + (-1) + 0 = 0 (consistente).

Resposta

As coordenadas de \overrightarrow{AB} na base E são
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(1,\,-1,\,0\bigr).

Exercícios relacionados