Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados: A(3,-1,2)
e r: \left\{\begin{array}{c}x+2 y+z-1=0 \\\\ 2 x+y-z+7=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contém o ponto A(3,-1,2) e a reta r definida pela interseção dos planos
x+2y+z-1=0
2x+y-z+7=0.
Para resolver, vamos seguir este plano de ataque: 1. Calcular um vetor diretor \mathbf v de r como \mathbf n_1\times\mathbf n_2. 2. Encontrar um ponto P em r resolvendo o sistema dos dois planos. 3. Formar o vetor \overrightarrow{PA} que vai de P a A. 4. Obter o normal \mathbf n do plano como \mathbf v\times\overrightarrow{PA}. 5. Escrever a equação Ax+By+Cz+D=0 usando \mathbf n=(A,B,C) e o ponto A.
Passo 2
Os vetores normais dos planos que definem r\) são
\(\mathbf n_1=(1,2,1)\) e \(\mathbf n_2=(2,1,-1)\). Logo o vetor diretor de \(r\) é
\[\mathbf v = \mathbf n_1 \times \mathbf n_2 = (1,2,1)\times(2,1,-1) = (-3,3,-3)\sim(1,-1,1).