Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
A(3,-1,2)
e r: \left\{\begin{array}{c}x+2 y+z-1=0 \\\\ 2 x+y-z+7=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém o ponto A(3,-1,2) e a reta r definida pela interseção dos planos
x+2y+z-1=0
2x+y-z+7=0.
Para resolver, vamos seguir este plano de ataque:
1. Calcular um vetor diretor \mathbf v de r como \mathbf n_1\times\mathbf n_2.
2. Encontrar um ponto P em r resolvendo o sistema dos dois planos.
3. Formar o vetor \overrightarrow{PA} que vai de P a A.
4. Obter o normal \mathbf n do plano como \mathbf v\times\overrightarrow{PA}.
5. Escrever a equação Ax+By+Cz+D=0 usando \mathbf n=(A,B,C) e o ponto A.

Passo 2

Os vetores normais dos planos que definem r\) são \(\mathbf n_1=(1,2,1)\) e \(\mathbf n_2=(2,1,-1)\). Logo o vetor diretor de \(r\) é \[\mathbf v = \mathbf n_1 \times \mathbf n_2 = (1,2,1)\times(2,1,-1) = (-3,3,-3)\sim(1,-1,1).
Para achar um ponto em r, resolvemos
\begin{cases} x+2y+z=1,\\\\ 2x+y-z=-7. \end{cases}
Somando as equações: 3x+3y=-6 \Rightarrow x+y=-2\]. De \(x+2y+z=1 vem z=1-x-2y=1-(-2-y)-2y=3-y. Tomando y=0, obtemos
P=(-2,\,0,\,3).

Passo 3

Construímos o vetor que liga P a A:
\overrightarrow{PA} = A - P = (3,-1,2) - (-2,0,3) = (5,-1,-1).

Passo 4

O vetor normal ao plano procurado é
\mathbf n = \mathbf v \times \overrightarrow{PA} = (1,-1,1)\times(5,-1,-1) = (-2,-6,-4)\sim(1,3,2).

Passo 5

Usando \mathbf n=(1,3,2) e o ponto A(3,-1,2), a equação geral do plano é
1\,(x-3) + 3\,(y+1) + 2\,(z-2) = 0
ou, simplificando,
x + 3y + 2z - 4 = 0.

Resposta

x + 3y + 2z - 4 = 0.

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