(10 pontos) (a) Seja
. Determine
.
(b) Sabendo que
, calcule:
(i)
e (ii) $\int_{2}^{2} f(x) d x
(b) Sabendo que
(i)
Passo 1
Beleza, então o exercício tem duas partes:
(a) A gente define
e quer saber .
(b) Sabendo que , calcular
(i) e
(ii) .
(a) A gente define
e quer saber
(b) Sabendo que
(i)
(ii)
Conteúdo: cálculo de derivada de integral (Teorema Fundamental do Cálculo) e propriedades de integrais definidas (inversão de limites e integral sobre intervalo nulo). Você vai precisar entender:
- Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) parte 1: se
, então . - Propriedade de troca de limites:
. - Integral sobre intervalo de comprimento zero é zero:
.
Passo 2
Vamos fazer a parte (a).
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
então diretamente
Explicando a ideia: a derivada de uma integral que vai de uma constante até
“cancela” a integral e deixa só o integrando avaliado em
.
Passo 3
Agora a parte (b)(i). Temos
Uma propriedade básica diz que, se invertermos os limites de integração, trocamos o sinal:
Logo
Passo 4
Por fim, a parte (b)(ii). Se o intervalo de integração começa e termina no mesmo ponto, a área é zero. Em fórmula:
Isso vale para qualquer função
, porque não “existe largura” de intervalo.
Resposta
(a)
(b)(i)
(b)(ii)
(b)(i)
(b)(ii)