(10 pontos) (a) Seja F(x)=integral1^x cos (t) d t. Determine F^prime(x).
(b) Sabendo que integral2^5 f(x) d x=7, calcule:
(i) integral5^2 f(x) d x e (ii) $\int_{2}^{2} f(x) d x

Passo 1

Beleza, então o exercício tem duas partes:
(a) A gente define
F(x)=integral1^xcos(t),dt
e quer saber F'(x).
(b) Sabendo que integral2^5f(x),dx=7, calcular
(i) integral5^2f(x),dx e
(ii) integral2^2f(x),dx.
Conteúdo: cálculo de derivada de integral (Teorema Fundamental do Cálculo) e propriedades de integrais definidas (inversão de limites e integral sobre intervalo nulo). Você vai precisar entender:
  • Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) parte 1: se G(x)=integrala^xg(t),dt, então G'(x)=g(x).
  • Propriedade de troca de limites: integralb^ag(x),dx=-integrala^bg(x),dx.
  • Integral sobre intervalo de comprimento zero é zero: integrala^ag(x),dx=0.

Passo 2

Vamos fazer a parte (a).
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=integral1^xcos(t),dt,
então diretamente
F'(x)=cos(x)
Explicando a ideia: a derivada de uma integral que vai de uma constante até x “cancela” a integral e deixa só o integrando avaliado em x.

Passo 3

Agora a parte (b)(i). Temos
integral2^5f(x),dx=7
Uma propriedade básica diz que, se invertermos os limites de integração, trocamos o sinal:
integral5^2f(x),dx=-integral2^5f(x),dx
Logo
integral5^2f(x),dx=-7

Passo 4

Por fim, a parte (b)(ii). Se o intervalo de integração começa e termina no mesmo ponto, a área é zero. Em fórmula:
integral2^2f(x),dx=0
Isso vale para qualquer função f, porque não “existe largura” de intervalo.

Resposta

(a) F'(x)=cos(x)
(b)(i) integral5^2f(x),dx=-7
(b)(ii) integral2^2f(x),dx=0

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