Determine os valores de x in R para os quais a série seja convergente.
sumn=1^infty x^n(1+x^n)

Passo 1

O enunciado pede pra achar os valores de x ∈ ℝ que fazem convergir a série sumn=1^infty x^n(1+x^n). Vamos usar teoria de convergência de séries numéricas, em especial o teste da série geométrica e o critério necessário de que o termo geral tenda a zero.

Passo 2

Note que o termo geral da série pode ser reescrito assim: an=x^n(1+x^n)=x^n+x^2n. Logo

Passo 3

sumn=1^infty x^n(1+x^n)=sumn=1^infty x^n;+ sumn=1^infty x^2n

Passo 4

Sabemos que a série geométrica sum r^n converge se, e somente se, |r|<1. Portanto: • sum x^n converge se |x|<1. • sum x^2n é geométrica de razão x^2, converge se |x^2|<1, ou seja, também |x|<1. Logo para |x|<1 ambas convergem e a soma é finita.

Passo 5

Se |x|>=1, na maioria dos casos o termo geral não tende a zero (por exemplo se |x|>1 temos |an|toinfty), ou então cada geométrica diverge (casos x=1 dá termo constante 2, x=-1 dá termos alternando entre 0 e 2). Em todo caso não há convergência.

Passo 6

Portanto a série converge exatamente quando |x|<1.

Resposta

x\in(-1,1)

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