Determine os valores de
para os quais a série seja convergente.
Passo 1
O enunciado pede pra achar os valores de x ∈ ℝ que fazem convergir a série
. Vamos usar teoria de convergência de séries numéricas, em especial o teste da série geométrica e o critério necessário de que o termo geral tenda a zero.
Passo 2
Note que o termo geral da série pode ser reescrito assim:
. Logo
Passo 3
Passo 4
Sabemos que a série geométrica
converge se, e somente se,
. Portanto: •
converge se
. •
é geométrica de razão
, converge se
, ou seja, também
. Logo para
ambas convergem e a soma é finita.
Passo 5
Se
, na maioria dos casos o termo geral não tende a zero (por exemplo se
temos
), ou então cada geométrica diverge (casos
dá termo constante 2,
dá termos alternando entre 0 e 2). Em todo caso não há convergência.
Passo 6
Portanto a série converge exatamente quando
.
Resposta
x\in(-1,1)