Obtenha a primitiva das funções:
g^prime prime(t)=e^t+t^-4

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra gente descobrir a função g(t) cuja segunda derivada é
g''(t)=e^t + t^-4
Isso é conteúdo de cálculo diferencial/integral: a gente precisa usar integrais indefinidas (primitivas). Para isso vamos precisar das regras básicas:
  1. integral e^t,dt = e^t + C.
  2. integral t^n,dt = t^n+1n+1 + C (pra nneq -1).

Passo 2

Primeiro, vamos achar g'(t) integrando g''(t):
g'(t) ;=;integrall(e^t + t^-4r),dt =integral e^t,dt ;+;integral t^-4,dt
– Pela regra 1, integral e^t,dt = e^t.
– Pela regra 2 com n=-4,
integral t^-4,dt = t^-4+1-4+1 = t^-3-3 = -tfrac13,t^-3
Não esquece da constante de integração, chamei de C1.
Então
boxedg'(t) = e^t - tfrac13,t^-3 + C1

Passo 3

Agora a gente integra de novo pra chegar em g(t):
g(t)=integral g'(t),dt =integrall(e^t - tfrac13,t^-3 + C1r),dt =integral e^t,dt ;-;tfrac13integral t^-3,dt ;+;integral C1,dt
integral e^t,dt = e^t.
– Para integral t^-3,dt, usamos n=-3:
integral t^-3,dt=t^-2-2=-tfrac12,t^-2.
Multiplicando por -tfrac13 +tfrac16,t^-2.
integral C1,dt = C1,t.
E surge uma segunda constante de integração, C2.

Resposta

boxedg(t)=e^t + tfrac16,t^-2 + C1,t + C2

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