(20 pontos) - Calcule as integrais definidas, apresentando todos os passos:
integral0^1(x^3-2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular a integral definida
integral0^1l(x^3-2x+1r),dx
Isso é parte de “Integração” no cálculo: vamos usar
  1. a linearidade da integral (separa soma e constante),
  2. a regra do poder integral x^n dx = x^n+1n+1+C,
  3. o Teorema Fundamental do Cálculo integrala^b f(x),dx = F(b)-F(a).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a linearidade:
integral0^1(x^3 - 2x + 1),dx = integral0^1x^3,dx ;-;2integral0^1x,dx ;+;integral0^11,dx
Explicando: dá pra “quebrar” a integral em três e tirar o 2 que é constante.
Agora, achamos os primitivos (antiderivadas) de cada parte:
  • integral x^3 dx = x^44+C,
  • integral x,dx = x^22+C,
  • integral 1,dx = x + C.
    Juntando num único F(x) (sem “+C”, porque lá vai cancelar):
F(x) = x^44 ;-;2cdotx^22;+;x = x^44 - x^2 + x

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^1(x^3 - 2x + 1),dx = F(1) - F(0)
Calculando:
F(1) = 1^44 - 1^2 + 1 = 14 - 1 + 1 = 14, F(0) = 0 - 0 + 0 = 0
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F(1) - F(0) = 14 - 0 = 14

Resposta

boxed14

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