(30 pontos) - Considere a função
no intervalo [0,2]. Divida o intervalo em 4 subintervalos de mesmo comprimento e calcule uma aproximação da medida da área usando:
(a) as extremidades direitas dos subintervalos;
(b) as extremidades esquerdas dos subintervalos;
Use os resultados obtidos para explicar porque a área calculada desta forma pode ser maior ou menor que a área real.
(a) as extremidades direitas dos subintervalos;
(b) as extremidades esquerdas dos subintervalos;
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente aproximar a área sob a curva da função
dividindo esse intervalo em 4 pedaços iguais e usando retângulos cujas alturas são dadas pelas extremidades direitas (item a) e pelas extremidades esquerdas (item b).
Conteúdo: soma de Riemann (aproximação de integrais).
O que vamos precisar:
Conteúdo: soma de Riemann (aproximação de integrais).
O que vamos precisar:
- calcular o tamanho de cada subintervalo
, - identificar os pontos de amostragem (extremidades direita ou esquerda),
- avaliar
nesses pontos, - somar e multiplicar por
.
Passo 2
Calcular o tamanho de cada subintervalo:
Então os subintervalos são
Passo 3
(a) Aproximação usando extremidades direitas:
Pontos de amostragem:
Pontos de amostragem:
Avaliações:
Soma dos valores:
Área aproximada:
Passo 4
(b) Aproximação usando extremidades esquerdas:
Pontos de amostragem:
Pontos de amostragem:
Avaliações:
Soma dos valores:
Área aproximada:
Passo 5
Para ver se a gente tá chutando pra mais ou pra menos, compara com a área exata:
Como
é crescente em
:
- a soma com pontos direitos usa sempre o valor máximo de cada pedaço → superestima;
- a soma com pontos esquerdos usa sempre o valor mínimo → subestima.
Resposta
(a) Aproximação pelas extremidades direitas:
(superestima).
(b) Aproximação pelas extremidades esquerdas: (subestima).
(b) Aproximação pelas extremidades esquerdas: