(30 pontos) - Considere a função f(x)=x^2 no intervalo [0,2]. Divida o intervalo em 4 subintervalos de mesmo comprimento e calcule uma aproximação da medida da área usando:
(a) as extremidades direitas dos subintervalos;
(b) as extremidades esquerdas dos subintervalos;
Use os resultados obtidos para explicar porque a área calculada desta forma pode ser maior ou menor que a área real.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente aproximar a área sob a curva da função
f(x)=x^2no intervalo [0,2]
dividindo esse intervalo em 4 pedaços iguais e usando retângulos cujas alturas são dadas pelas extremidades direitas (item a) e pelas extremidades esquerdas (item b).
Conteúdo: soma de Riemann (aproximação de integrais).
O que vamos precisar:
  • calcular o tamanho de cada subintervalo De<a x,
  • identificar os pontos de amostragem (extremidades direita ou esquerda),
  • avaliar f(x) nesses pontos,
  • somar e multiplicar por De<a x.

Passo 2

Calcular o tamanho de cada subintervalo:
De<a x = 2-04 = 0,5
Então os subintervalos são
[0;0,5],;[0,5;1],;[1;1,5],;[1,5;2]

Passo 3

(a) Aproximação usando extremidades direitas:
Pontos de amostragem:
x1=0,5,;x2=1,;x3=1,5,;x4=2
Avaliações:
f(0,5)=0,5^2=0,25, f(1)=1, f(1,5)=2,25, f(2)=4
Soma dos valores:
0,25 + 1 + 2,25 + 4 = 7,5
Área aproximada:
7,5 times 0,5 = 3,75

Passo 4

(b) Aproximação usando extremidades esquerdas:
Pontos de amostragem:
x1=0,;x2=0,5,;x3=1,;x4=1,5
Avaliações:
f(0)=0, f(0,5)=0,25, f(1)=1, f(1,5)=2,25
Soma dos valores:
0 + 0,25 + 1 + 2,25 = 3,5
Área aproximada:
3,5 times 0,5 = 1,75

Passo 5

Para ver se a gente tá chutando pra mais ou pra menos, compara com a área exata:
integral0^2 x^2,dx = l[tfracx^33r]0^2 = tfrac83approx2,67
Como f(x)=x^2 é crescente em [0,2]:
  • a soma com pontos direitos usa sempre o valor máximo de cada pedaço → superestima;
  • a soma com pontos esquerdos usa sempre o valor mínimo → subestima.

Resposta

(a) Aproximação pelas extremidades direitas: 3,75 (superestima).
(b) Aproximação pelas extremidades esquerdas: 1,75 (subestima).

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