O enunciado pede para provar, usando a definição \varepsilon-N de limite de sequência, que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}=1.
Informações dadas e objetivo claro:
A sequência é a_n=\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}.
Preciso mostrar que para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale \left|a_n-1\right|<\varepsilon.
Nada mais será assumido: vou construir explicitamente a desigualdade e escolher N.
Passo 2
Recordando a definição \varepsilon-N de limite para sequência: dizer que \lim_{n\to\infty}a_n=L significa que
No nosso caso L=1. Ou seja, precisamos controlar \left|\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| e torná-la menor que um dado \varepsilon>0 para n suficientemente grande.
Passo 3
Vamos manipular a expressão \left|\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| de forma a obter um estimador simples em função de n.
Começamos escrevendo a diferença sobre um denominador comum:
Agora vamos encontrar uma desigualdade mais simples, que dependa apenas de n de forma fácil de manipular. Observe que para todo n\ge1 temos \sqrt{1+n^{2}}\ge n. Assim,
n+\sqrt{1+n^{2}}\ge n+n=2n,
e também \sqrt{1+n^{2}}\ge n. Portanto o denominador pode ser estimado por
\left|\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| \le \frac{1}{2n^{2}}\qquad\text{para todo }n\ge1.
Passo 6
Agora faça o seguinte raciocínio típico do método \varepsilon-N: dado um \varepsilon>0, basta garantir que \dfrac{1}{2n^{2}}<\varepsilon para que \left|\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right|<\varepsilon (pela desigualdade do passo anterior). A condição \dfrac{1}{2n^{2}}<\varepsilon é equivalente a
Portanto, para todo \varepsilon>0 encontramos um N (explicitado acima) tal que a condição da definição \varepsilon-N é satisfeita. Isso prova que o limite é 1.