Use a definição \varepsilon-N para provar que
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}=1

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição \varepsilon- N de limite de sequência, que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}=1.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A sequência é a_n=\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}.
  • Preciso mostrar que para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale \left|a_n-1\right|<\varepsilon.
    Nada mais será assumido: vou construir explicitamente a desigualdade e escolher N.

Passo 2

Recordando a definição \varepsilon- N de limite para sequência: dizer que \lim_{n\to\infty}a_n=L significa que
\forall \varepsilon>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge N,\\ |a_n-L|<\varepsilon.
No nosso caso L=1. Ou seja, precisamos controlar \left|\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| e torná-la menor que um dado \varepsilon>0 para n suficientemente grande.

Passo 3

Vamos manipular a expressão \left|\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| de forma a obter um estimador simples em função de n.
Começamos escrevendo a diferença sobre um denominador comum:
\left|\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| = \left|\frac{n-\sqrt{1+n^{2}}}{\sqrt{1+n^{2}}}\right|.
Para simplificar o numerador n-\sqrt{1+n^{2}} usamos o truque do conjugado (multiplicar e dividir por n+\sqrt{1+n^{2}}):

Passo 4

Aplicando o conjugado:
n-\sqrt{1+n^{2}}=\frac{(n-\sqrt{1+n^{2}})(n+\sqrt{1+n^{2}})}{n+\sqrt{1+n^{2}}} =\frac{n^{2}-(1+n^{2})}{n+\sqrt{1+n^{2}}} =\frac{-1}{\,n+\sqrt{1+n^{2}}\,}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
\left|\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| = \left|\frac{-1}{\sqrt{1+n^{2}}\,(n+\sqrt{1+n^{2}})}\right| = \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}\,(n+\sqrt{1+n^{2}})}.

Passo 5

Agora vamos encontrar uma desigualdade mais simples, que dependa apenas de n de forma fácil de manipular. Observe que para todo n\ge1 temos \sqrt{1+n^{2}}\ge n. Assim,
n+\sqrt{1+n^{2}}\ge n+n=2n,
e também \sqrt{1+n^{2}}\ge n. Portanto o denominador pode ser estimado por
\sqrt{1+n^{2}}\,(n+\sqrt{1+n^{2}})\ge n\cdot 2n = 2n^{2}.
Com isso obtemos a desigualdade prática
\left|\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| \le \frac{1}{2n^{2}}\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 6

Agora faça o seguinte raciocínio típico do método \varepsilon- N: dado um \varepsilon>0, basta garantir que \dfrac{1}{2n^{2}}<\varepsilon para que \left|\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right|<\varepsilon (pela desigualdade do passo anterior). A condição \dfrac{1}{2n^{2}}<\varepsilon é equivalente a
n^{2}>\frac{1}{2\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon}}.
Como existe sempre um inteiro maior ou igual a qualquer real positivo, podemos escolher
N=\left\lceil\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon}}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro \ge x. Para garantir a validade das estimativas usadas a partir do passo 5 (que exigiam n\ge1), podemos tomar
N=\max\left\{1,\left\lceil\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon}}\right\rceil\right\}.

Passo 7

Verificação final: com esse N, para todo n\ge N temos n\ge1 e n>\sqrt{\dfrac{1}{2\varepsilon}}. Então
\left|\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}-1\right| \le \frac{1}{2n^{2}} \le \frac{1}{2N^{2}}<\varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 encontramos um N (explicitado acima) tal que a condição da definição \varepsilon- N é satisfeita. Isso prova que o limite é 1.

Resposta

1

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