Calcular as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
- Deve-se obter uma expressão em termos de
mais uma constante de integração .
Passo 2
Por que usar substituição trigonométrica?
A expressão dentro da potência tem a forma , ou seja
com
e
. Para integrais que envolvem
(ou potências dessa raiz) a substituição padrão é
A expressão dentro da potência tem a forma
porque aí
e a raiz fica simples. No nosso caso tomamos a substituição conveniente
Passo 3
Executando a substituição:
Derivando,
Derivando,
Agora calcule a parte dentro da potência:
Assim
onde aqui assumimos o intervalo de
em que
(por exemplo
), para não ter que lidar com valor absoluto. Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Agora precisamos integrar
. Use a fórmula de redução de potência:
Então
Aplicando novamente a redução em
:
Substituindo:
Passo 5
Integramos termo a termo:
Calcule cada integral:
-
-
(pois ) -
Multiplicando tudo por
:
Passo 6
Voltar para a variável
. Lembrando que fizemos
, temos
Precisamos também escrever
e
em função de
.
- Primeiro,
e (escolhendo o sinal positivo conforme o intervalo de usado). - Então
- Para
use . Primeiro calcule :
Logo
Passo 7
Substituindo
,
e
na primitiva obtida:
Simplificando os coeficientes:
Somando os termos que têm
:
Portanto uma forma simplificada da primitiva é
Podemos também escrever expandindo:
Passo 8
Dica rápida para a prova: ao ver
pense imediatamente em
. Lembre-se de verificar o sinal da raiz (escolhe-se o intervalo de
onde
). Se preferir, volte ao final e diferencie a primitiva para checar que o resultado retorna ao integrando original — é um bom jeito de confirmar.