Calcular as integrais abaixo.
\int\left(1-4 t^{2}\right)^{3 / 2} d t

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular a integral
\int\left(1-4 t^{2}\right)^{3/2}\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \left(1-4 t^{2}\right)^{3/2}.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
  • Deve-se obter uma expressão em termos de t mais uma constante de integração C.

Passo 2

Por que usar substituição trigonométrica?
A expressão dentro da potência tem a forma 1-(2t)^{2}, ou seja a^{2}-x^{2} com a=1 e x=2t. Para integrais que envolvem \sqrt{a^{2}-x^{2}} (ou potências dessa raiz) a substituição padrão é
x = a\sin\theta,
porque aí a^{2}-x^{2}=a^{2}\cos^{2}\theta e a raiz fica simples. No nosso caso tomamos a substituição conveniente
2t = \sin\theta.

Passo 3

Executando a substituição: \;2t=\sin\theta\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\sin\theta.
Derivando,
dt=\frac{1}{2}\cos\theta\,d\theta.
Agora calcule a parte dentro da potência:
1-4t^{2}=1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta.
Assim
\left(1-4t^{2}\right)^{3/2}=(\cos^{2}\theta)^{3/2}=\cos^{3}\theta,
onde aqui assumimos o intervalo de \theta em que \cos\theta\ge0 (por exemplo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]), para não ter que lidar com valor absoluto. Substituindo tudo na integral:
\int\left(1-4 t^{2}\right)^{3/2}\,dt = \int \cos^{3}\theta\cdot\frac{1}{2}\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int \cos^{4}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora precisamos integrar \frac{1}{2}\int\cos^{4}\theta\,d\theta. Use a fórmula de redução de potência:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Então
\cos^{4}\theta=(\cos^{2}\theta)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} =\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr).
Aplicando novamente a redução em \cos^{2}2\theta:
\cos^{2}2\theta=\frac{1+\cos 4\theta}{2}.
Substituindo:
\cos^{4}\theta=\frac{1}{4}\left(1+2\cos 2\theta+\frac{1+\cos 4\theta}{2}\right) =\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\frac{1}{2}\int\cos^{4}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\int\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta\right)d\theta.
Calcule cada integral:
  • \displaystyle \int \frac{3}{8}\,d\theta=\frac{3}{8}\theta.
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}\cos 2\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2\theta=\frac{1}{4}\sin 2\theta. (pois \int\cos k\theta\,d\theta=\frac{1}{k}\sin k\theta)
  • \displaystyle \int \frac{1}{8}\cos 4\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin 4\theta=\frac{1}{32}\sin 4\theta.
Multiplicando tudo por \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int\cos^{4}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\left(\frac{3}{8}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\frac{1}{32}\sin 4\theta\right) =\frac{3}{16}\theta+\frac{1}{8}\sin 2\theta+\frac{1}{64}\sin 4\theta + C.

Passo 6

Voltar para a variável t. Lembrando que fizemos 2t=\sin\theta, temos
\theta=\arcsin(2t).
Precisamos também escrever \sin 2\theta e \sin 4\theta em função de t.
  • Primeiro, \sin\theta=2t e \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-4t^{2}} (escolhendo o sinal positivo conforme o intervalo de \theta usado).
  • Então
\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2(2t)\sqrt{1-4t^{2}}=4t\sqrt{1-4t^{2}}.
  • Para \sin 4\theta use \sin 4\theta=2\sin 2\theta\cos 2\theta. Primeiro calcule \cos 2\theta:
\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta=1-2(2t)^{2}=1-8t^{2}.
Logo
\sin 4\theta=2\cdot(4t\sqrt{1-4t^{2}})\cdot(1-8t^{2}) =8t(1-8t^{2})\sqrt{1-4t^{2}}.

Passo 7

Substituindo \theta, \sin 2\theta e \sin 4\theta na primitiva obtida:
\frac{3}{16}\theta+\frac{1}{8}\sin 2\theta+\frac{1}{64}\sin 4\theta + C = \frac{3}{16}\arcsin(2t) +\frac{1}{8}\bigl(4t\sqrt{1-4t^{2}}\bigr) +\frac{1}{64}\bigl(8t(1-8t^{2})\sqrt{1-4t^{2}}\bigr)+C.
Simplificando os coeficientes:
\frac{1}{8}\cdot 4t\sqrt{1-4t^{2}}=\frac{1}{2}t\sqrt{1-4t^{2}}, \qquad \frac{1}{64}\cdot 8t(1-8t^{2})\sqrt{1-4t^{2}}=\frac{1}{8}t(1-8t^{2})\sqrt{1-4t^{2}}.
Somando os termos que têm t\sqrt{1-4t^{2}}:
\frac{1}{2}t\sqrt{1-4t^{2}}+\frac{1}{8}t(1-8t^{2})\sqrt{1-4t^{2}} = t\sqrt{1-4t^{2}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-t^{2}\right) = t\sqrt{1-4t^{2}}\left(\frac{5}{8}-t^{2}\right).
Portanto uma forma simplificada da primitiva é
\frac{3}{16}\arcsin(2t)+t\sqrt{1-4t^{2}}\left(\frac{5}{8}-t^{2}\right)+C.
Podemos também escrever expandindo:
\frac{3}{16}\arcsin(2t)+\frac{5}{8}t\sqrt{1-4t^{2}}-t^{3}\sqrt{1-4t^{2}}+C.

Passo 8

Dica rápida para a prova: ao ver \left(1-(2t)^{2}\right)^{3/2} pense imediatamente em 2t=\sin\theta. Lembre-se de verificar o sinal da raiz (escolhe-se o intervalo de \theta onde \cos\theta\ge0). Se preferir, volte ao final e diferencie a primitiva para checar que o resultado retorna ao integrando original — é um bom jeito de confirmar.

Resposta

\frac{3}{16}\arcsin(2t)+t\sqrt{1-4t^{2}}\left(\frac{5}{8}-t^{2}\right)+C

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