(10 pontos) Sejam \alpha e \beta números reais tais que a reta de equação y=2 x+1 é tangente ao gráfico da função f(x)=2 x^{2}+\alpha x+\beta no ponto P\left(x_{0}, 3\right). Obtenha o valor de f(2).

Passo 1

O enunciado diz que a reta y=2x+1 é tangente ao gráfico de
f(x)=2x^{2}+\alpha x+\beta
no ponto P\bigl(x_{0},3\bigr). Vamos usar duas condições de tangência:
  1. o ponto P pertence à reta, de modo que 2x_{0}+1=3;
  2. a derivada de f em x_{0} coincide com o coeficiente angular da reta, ou seja, f'(x_{0})=2.

Passo 2

Da condição 1, do ponto na reta, temos
2x_{0}+1=3
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x_{0}=1.

Passo 3

A derivada de f é
f'(x)=4x+\alpha.
Da condição 2, em x_{0}=1 temos
f'(1)=4\cdot1+\alpha=2
portanto
\alpha=2-4=-2.

Passo 4

Para achar \beta, usamos que P(1,3) também pertence ao gráfico de f:
f(1)=2\cdot1^{2}+\alpha\cdot1+\beta=3.
Substituindo \alpha=-2:
2-2+\beta=3
logo
\beta=3.

Passo 5

Agora que \alpha=-2 e \beta=3, a função é
f(x)=2x^{2}-2x+3.
Calculamos
f(2)=2\cdot2^{2}-2\cdot2+3=8-4+3=7.

Resposta

7

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