Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta (mostre, caso verdadeira e dê um contra-exemplo caso falsa):
(b) ( ) Se uma função
for contínua em
, então
é diferenciável em
.
(b) ( ) Se uma função
Passo 1
O enunciado afirma: “Se uma função
for contínua em
, então
é diferenciável em
”. O tema é a relação entre continuidade e diferenciabilidade de funções reais.
Passo 2
Lembrando a teoria:
– é contínua em
se
–
–
é diferenciável em
se existe o limite
e esse limite é finito. Em particular, diferenciabilidade implica continuidade, mas não necessariamente o inverso.
Passo 3
A afirmativa é falsa. Um contra-exemplo clássico é
avaliada em
.
Passo 4
Verificamos continuidade em
:
logo
é contínua em
. Agora os quocientes de diferença:
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe e
não é diferenciável em
.
Resposta
Falsa. Por exemplo,
é contínua em
mas não diferenciável em
.