Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta (mostre, caso verdadeira e dê um contra-exemplo caso falsa):
(b) ( ) Se uma função f for contínua em x=a, então f é diferenciável em x=a.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se uma função f for contínua em x=a, então f é diferenciável em x=a”. O tema é a relação entre continuidade e diferenciabilidade de funções reais.

Passo 2

Lembrando a teoria:
f é contínua em a se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
f é diferenciável em a se existe o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
e esse limite é finito. Em particular, diferenciabilidade implica continuidade, mas não necessariamente o inverso.

Passo 3

A afirmativa é falsa. Um contra-exemplo clássico é
f(x)=|x|,
avaliada em a=0.

Passo 4

Verificamos continuidade em 0:
\lim_{x\to0}|x|=0=f(0),
logo f é contínua em 0. Agora os quocientes de diferença:
\lim_{h\to0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1,
\lim_{h\to0^-}\frac{|0+h|-|0|}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1.
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe e f não é diferenciável em 0.

Resposta

Falsa. Por exemplo, f(x)=|x| é contínua em x=0 mas não diferenciável em x=0.

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