Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta (mostre, caso verdadeira e dê um contra-exemplo caso falsa):
( ) Se uma função f for contínua em x=a, então f é diferenciável em x=a.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda função f contínua em x=a é também diferenciável em x=a. O conteúdo envolvido é a relação entre continuidade e diferenciabilidade, usando a definição de derivada como
f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Para responder, precisamos lembrar que diferenciabilidade implica continuidade, mas o recíproco nem sempre vale. Se a afirmação for falsa, apresentamos um contra-exemplo.

Passo 2

Considere a função valor absoluto em a=0:
f(x) = |x|.
  1. Mostramos que f é contínua em 0. Como
\lim_{x\to0} |x| = 0 = f(0),
segue que f é contínua em 0.
  1. Verificamos a derivada lateral em 0:
\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h} =\lim_{h\to0^+}1 =1,
\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h} =\lim_{h\to0^-}(-1) =-1.
Como os limites laterais não coincidem, a derivada f'(0) não existe, logo f não é diferenciável em 0.
Portanto, encontramos um contra-exemplo de uma função contínua em x=a que não é diferenciável em x=a.

Resposta

Falsa. Por exemplo, f(x)=|x| é contínua em 0 mas não diferenciável em 0, pois as derivadas laterais são diferentes.

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