Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta (mostre, caso verdadeira e dê um contra-exemplo caso falsa):
( ) Se uma função
for contínua em
, então
é diferenciável em
.
( ) Se uma função
Passo 1
O enunciado pergunta se toda função
contínua em
é também diferenciável em
. O conteúdo envolvido é a relação entre continuidade e diferenciabilidade, usando a definição de derivada como
Para responder, precisamos lembrar que diferenciabilidade implica continuidade, mas o recíproco nem sempre vale. Se a afirmação for falsa, apresentamos um contra-exemplo.
Passo 2
Considere a função valor absoluto em
:
- Mostramos que
é contínua em . Como
segue que
é contínua em
.
- Verificamos a derivada lateral em
:
Como os limites laterais não coincidem, a derivada
não existe, logo
não é diferenciável em
.
Portanto, encontramos um contra-exemplo de uma função contínua em
que não é diferenciável em
.
Resposta
Falsa. Por exemplo,
é contínua em
mas não diferenciável em
, pois as derivadas laterais são diferentes.