(10,0 pontos) Utilize a teoria de Fourier (e o método de separação de variáveis) para obter a solução do problema abaixo (equação do calor barra finita)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação do calor numa barra finita usando a teoria de Fourier e o método de separação de variáveis. A gente tem uma barra de comprimento L e quer saber como a temperatura u(x, t) varia ao longo do tempo e do espaço. Para resolver, vamos precisar entender a equação do calor, condições de contorno (como a temperatura se comporta nas extremidades da barra) e desenvolver uma série de Fourier para expressar nossa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de t . Ou seja, u(x, t) = X(x)T(t) .
Passo 3
Agora, substituímos u(x, t) = X(x)T(t) na equação do calor ut = c^2 uxx :
X(x)T'(t) = c^2 X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por c^2X(x)T(t) , ficamos com:
T'(t)c^2T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante que separa as variáveis.
Passo 4
Agora, temos duas equações: uma para X(x) e outra para T(t) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
T'(t) + c^2lambda T(t) = 0
Vamos resolver cada uma separadamente começando por X(x) .
Passo 5
A equação de X(x) é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas porque temos condições de contorno do tipo Neumann (derivadas iguais a zero nas extremidades). As soluções gerais são:
Xn(x) = An cos(npi xL)
onde n = 0, 1, 2, dots e lambdan = (npiL)^2 .
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para T(t) :
Tn(t) = Bn e^-c^2lambdan t = Bn e^-c^2(npiL)^2 t
Aqui, Bn é uma constante que vai depender das condições iniciais.
Passo 7
A solução geral é uma combinação linear de todas essas soluções:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos(npi xL) e^-c^2(npiL)^2 t
Agora, precisamos determinar os coeficientes An usando a condição inicial u(x, 0) = f(x) .
Passo 8
Aplicamos a condição inicial:
f(x) = sumn=0^infty An cos(npi xL)
Isso é basicamente uma série de Fourier do tipo cosseno. Os coeficientes An são determinados pela fórmula da série de Fourier para funções pares (devido às condições de contorno Neumann).
Passo 9
Calculamos os coeficientes An usando a integral:
An = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) dx para n >= 1
E para n = 0 :
A0 = 1L integral0^L f(x) dx
Resposta
A solução do problema é dada por
u(x, t) = A02 + sumn=1^infty An cos(npi xL) e^-c^2(npiL)^2 t