Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
y^prime prime(t)-y(t)=e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea y''(t)-y(t)=e^2t pelo método da variação dos parâmetros, que exige primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular da não homogênea via funções variáveis u1(t) e u2(t).

Passo 2

Resolvendo a homogênea associada y''-y=0, a equação característica é r^2-1=0 com raízes r=1 e r=-1. Logo
yh(t)=C1e^t + C2e^-t

Passo 3

Para a variação dos parâmetros, propomos
impondo as condições auxiliares
e calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros temos
u1'(t)=-y2(t),f(t) W=-e^-t,e^2t-2=e^t2,
u2'(t)=y1(t),f(t) W=e^t,e^2t-2=-e^3t2

Passo 5

Integramos para obter
u1(t)=integrale^t2,dt=e^t2,
u2(t)=integral -e^3t2,dt=-e^3t6

Passo 6

A solução particular fica então
yp(t)=u1(t)e^t+u2(t)e^-t=e^t2e^t-e^3t6e^-t=e^2t2-e^2t6=e^2t3

Resposta

A solução geral é y(t)=C1e^t + C2e^-t + dfrace^2t3.

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