1. A temperatura no ponto (x, y) de uma placa retangular é T(x, y)=x sen 2 y. Um ponto P se move no sentido horário, ao longo do círculo unitário centrado na origem, a uma velocidade constante de 2 unidades de comprimento de arco por segundo. Qual a velocidade de variação de temperatura no instante em que o ponto P se situar em ( 1 / 2, raiz3 / 2 ).

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa placa por T(x,y)=xsin(2y) e diz que um ponto P percorre o círculo unitário centrado na origem, no sentido horário, com velocidade linear constante de 2 unidades de arco por segundo. Precisamos achar a taxa de variação dfracdTdt quando P está em l(tfrac12,tfracraiz32r). O conteúdo principal é derivada direcional e regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, parametrizamos o movimento de P por
P(t)=(x(t),y(t))=(costheta(t),sintheta(t)),
onde theta(t) é o ângulo no instante t. Como o ponto se move no sentido horário com velocidade linear v=2, temos
v = llvert P'(t)rrvert = llverttheta'(t)rrvertcdot1,
logo lverttheta'(t)rvert=2. No sentido horário theta' é negativo, então
theta'=-2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de T:
Tx(x,y)=partialpartial xl(xsin(2y)r)=sin(2y),
Ty(x,y)=partialpartial yl(xsin(2y)r)=xcdot2cos(2y)=2xcos(2y)

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dTdt=Tx,dxdt+Ty,dydt
Como x(t)=costheta e y(t)=sintheta, temos
dxdt=-sintheta;theta', dydt=costheta;theta'
No instante em que P=(tfrac12,tfracraiz32), o ângulo correspondente é theta=pi/3 e theta'=-2. Assim,
dxdt=-sinl(tfracpi3r),(-2)=2cdotraiz32=raiz3,
dydt=cosl(tfracpi3r),(-2)=-2cdot12=-1

Passo 5

Agora, em l(tfrac12,tfracraiz32r) temos 2y=raiz3. Logo,
Tx=sin(2y)=sin(raiz3),
Ty=2xcos(2y)=2cdottfrac12cos(raiz3)=cos(raiz3)
Substituindo tudo em dfracdTdt:
dTdt =sin(raiz3),l(raiz3r) +cos(raiz3),(-1) =raiz3,sin(raiz3)-cos(raiz3)

Resposta

dTdt=raiz3,sin(raiz3)-cos(raiz3)(unidades de temperatura por segundo)

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