Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
, onde
é a região que fica entre os círculos
e o eixo x
Passo 1
Nesse exercício, a gente quer calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada pelo círculo
e o eixo
. O conteúdo principal é a troca para coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares, fazemos a substituição
Isso inclui o Jacobiano
.
Passo 3
A região
em coordenadas polares corresponde ao semicírculo superior de raio 2, ou seja:
Passo 4
Substituindo o integrando e o elemento de área na integral, temos:
Passo 5
Primeiro, integramos em
:
Então a integral vira
Passo 6
Agora integramos em
. Lembrando a identidade
temos