Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
integral duplaD y^2x^2+y^2 d A, onde D é a região que fica entre os círculos x^2+y^2=4 e o eixo x

Passo 1

Nesse exercício, a gente quer calcular a integral dupla integral duplaDy^2x^2+y^2,dA, onde D é a região limitada pelo círculo x^2+y^2=4 e o eixo x. O conteúdo principal é a troca para coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos a substituição
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Isso inclui o Jacobiano r.

Passo 3

A região D em coordenadas polares corresponde ao semicírculo superior de raio 2, ou seja:
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi

Passo 4

Substituindo o integrando e o elemento de área na integral, temos:
integral duplaDy^2x^2+y^2,dA = integral0^piintegral0^2(rsintheta)^2r^2;r,dr,dtheta = integral0^piintegral0^2sin^2theta;r,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro, integramos em r:
integral0^2r,dr = [r^22]0^2 = 2
Então a integral vira
2integral0^pisin^2theta,dtheta

Passo 6

Agora integramos em theta. Lembrando a identidade
integral0^pisin^2theta,dtheta = pi2,
temos
2 cdot pi2 = pi

Resposta

pi

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