Use o Teste da Razão para estudar a convergência das séries abaixo. onde e , para todo
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar o Teste da Razão para estudar se a série
com
converge ou diverge. O conteúdo aqui é exatamente o Teste da Razão (também chamado de d’Alembert): a ideia é calcular o limite do quociente entre termos consecutivos e comparar com 1.
Passo 2
O Teste da Razão diz que, definindo
temos:
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste não decide (inconclusivo).
Vamos achar esse L.
Passo 3
Calculemos o quociente de termos consecutivos:
an+1an = sin(n)+1n,anan = sin(n)+1n
Como sin(n)+1>=0 para todo n, não precisamos nem colocar barras de valor absoluto — o quociente já é não-negativo.
Passo 4
Agora, observe que sin(n) varia entre -1 e 1. Logo
Como 2nto0 quando ntoinfty, pela ideia do teorema do confronto (“squeeze”), concluímos
L ;=;limntoinftysin(n)+1n =0
Passo 5
Chegamos em L=0, que é menor que 1. Logo, pelo Teste da Razão, a série sum an converge absolutamente. E toda série que converge absolutamente converge de fato.
Resposta
A série sumn=1^inftyan converge absolutamente (portanto, converge).