Use o Teste da Razão para estudar a convergência das séries abaixo.
sum an onde a1=2 e an+1=sen(n)+1n an, para todo n in N

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o Teste da Razão para estudar se a série
sumn=1^inftyan
com
a1 = 2 e an+1 = sin(n)+1n,an
converge ou diverge. O conteúdo aqui é exatamente o Teste da Razão (também chamado de d’Alembert): a ideia é calcular o limite do quociente entre termos consecutivos e comparar com 1.

Passo 2

O Teste da Razão diz que, definindo
L = limntoinftyl|tfracan+1anr|,
temos:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste não decide (inconclusivo).
    Vamos achar esse L.

Passo 3

Calculemos o quociente de termos consecutivos:
an+1an = sin(n)+1n,anan = sin(n)+1n
Como sin(n)+1>=0 para todo n, não precisamos nem colocar barras de valor absoluto — o quociente já é não-negativo.

Passo 4

Agora, observe que sin(n) varia entre -1 e 1. Logo
0 ,<=, sin(n)+1 ,<=, 2 Longrightarrow 0 ,<=, sin(n)+1n ,<=, 2n
Como 2nto0 quando ntoinfty, pela ideia do teorema do confronto (“squeeze”), concluímos
L ;=;limntoinftysin(n)+1n =0

Passo 5

Chegamos em L=0, que é menor que 1. Logo, pelo Teste da Razão, a série sum an converge absolutamente. E toda série que converge absolutamente converge de fato.

Resposta

A série sumn=1^inftyan converge absolutamente (portanto, converge).

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